线性代数的解法

线性代数

数学的思维方式：

1、三元一次方程组的解法（加减消元法-->矩阵消元法）

1.1 解三元一次方程组

例1：

由此可得出，该三元一次方程组有唯一解（3，-1，2）

1.2 n元线性方程组：

提取系数,得到n×n矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \
\end{pmatrix}
$$
记为A。

加上等于号右边的常数，得到，A的增广矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & b_n\
\end{pmatrix}
$$

1.3 阶梯形矩阵特点：

1. 0行在下方
2. 主元(首非零元素)的列指标随着行指标的增加而严格增大

1.4 矩阵的初等行变换：

• 把一行的倍数加到另一行
• 两行互换
• 一行乘一个非零数

1.5 简化的行阶梯型矩阵：

1. 阶梯形矩阵
2. 主元都是1
3. 主元所在列的其余元素都是0

1.6 矩阵的初等行变换得到的方程组与原方程组同解。

2、n元线性方程组的解的情况

2.1猜测

观察2.2猜测：

n元线性方程组的解有且只有三种可能，唯一解、无解、无穷多个解。

把线性方程组的增广矩阵经过初等行变换成阶梯形，相应的阶梯形方程组如果出现"0=d(d为非零数)",那么原方程组无解，否则，原方程组有解。

当有解时，若阶梯形矩阵非零行的数目r = n（未知量数目），则原方程组有唯一解，若r < n，则原方程组有无穷多个解

2.2 解的情况及其证明

2.2.1无解

证(无解的情况显而易见)：

2.2.2有解

2.2.2.1 无穷多个解

2.2.2.2 唯一解

2.2.3 证明

3、n元齐次线性方程组

3.1 例题

显然，（0，0，0，...，0）是方程组的一个解，称为零解，其余的解称为非零解。

由n元线性方程组的解的情况可知，n元齐次线性方程组有零解，就说明不可能无解，所以必有解。

若存在非零解，则意味着，有无穷多个解(r<n)。

3.2 推论1

🏷️n元齐次线性方程组有非零解，系数矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵的非零行数目r<n。（由无穷多个解的证明可知）

3.3 推论2

🏷️如果n元齐次线性方程组的方程个数s<n，则它有非零解。

证: 非零行r一定小于方程个数s，因为方程个数最多为s，所以非零行最大就是s，即：r$\leq$s,又因为s<n,则r<n。因此，有非零解。

4、数域

定义1

复数集的一个非空子集K，如果满足：

1. 0，1 $\in$ K;
2. a,b$\in$K $\Longrightarrow$ a$\pm$b,ab$\in$K;
3. a,b$\in$K且b$\neq$0 $\Longrightarrow$ $\frac ab$ $\in$K

那么，K是一个数域。

5、行列式