高等代数的研究对象

高等代数的主要内容是线性代数，主线是线性空间和线性映射。

以n 元线性方程组为出发点，可以得到方程组的系数矩阵和增广矩阵，消元法解方程的过程可以看成对 n维向量的操作，而 n 维向量的集合中定义加法和数量乘法可以构成一个 n 维向量空间，为了解决更为广泛的问题，我们进一步抽象成线性空间。

而线性空间之间存在保持加法和数量乘法的映射，我们称之为线性映射，选择了特定的基，对线性映射的研究可以转化为对矩阵的研究，相应地，矩阵也对应线性映射。

此外线性空间还可以定义距离和夹角等度量，向量的内积提供了有效的工具，内积实质上是一种双线性函数，有了双线性函数，我们就可以定义具有度量的线性空间，实数域上具有度量的线性空间称为欧几里得空间，复数域上具有度量的线性空间称为酉空间。

一个线性空间到其自身的线性映射称为线性变换，例如欧几里得空间中正交变换、对称变换和酉空间中的酉变换和Hermite变换。