HDU 6470 Count 【矩阵快速幂】（广东工业大学第十四届程序设计竞赛 ）

题目传送门：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6470

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Problem Description

Farmer John有n头奶牛.
某天奶牛想要数一数有多少头奶牛,以一种特殊的方式:
第一头奶牛为1号,第二头奶牛为2号,第三头奶牛之后,假如当前奶牛是第n头,那么他的编号就是2倍的第n-2头奶牛的编号加上第n-1头奶牛的编号再加上自己当前的n的三次方为自己的编号.
现在Farmer John想知道,第n头奶牛的编号是多少,估计答案会很大,你只要输出答案对于123456789取模.

 

 

Input

第一行输入一个T,表示有T组样例
接下来T行,每行有一个正整数n,表示有n头奶牛 (n>=3)
其中，T=10^4,n<=10^18

 

 

Output

共T行,每行一个正整数表示所求的答案

 

 

Sample Input

5

3

6

9

12

15

 

 

Sample Output

31

700

7486

64651

527023

 

 

Source

“字节跳动-文远知行杯”广东工业大学第十四届程序设计竞赛

 

 

解题思路：

很裸的一道矩阵快速幂的题，递推式都给出来了。

问题在于如何构造转移矩阵？也就是如何搞定 n 的3次方？

 

 

 

最终的转移矩阵：

 

AC code：

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
using namespace std;
const int MAXN = 7;
const LL MOD = 123456789;
template<typename T, int N = 1>
struct Matrix
{
    Matrix(int f = 0):n(sizeof(data[0])/sizeof(data[0][0])){
        for(int i = 0; i < n; i++)
            for(int j = 0; j < n; j++)
                data[i][j] = 0;
        if(f)
            for(int i = 0; i < n; i++) data[i][i] = T(1);
    }

    Matrix operator * (const Matrix other) const{
        Matrix<T, N> ret;
        for(int i = 0; i < n; i++)
            for(int j = 0; j < n; j++)
                for(int k = 0; k < n; k++)
                ret.data[i][j] = (ret.data[i][j] + data[i][k] * other.data[k][j]%MOD)%MOD;
        return ret;
    }

    Matrix operator + (const Matrix other) const{
        Matrix<T, N> ret;
        for(int i = 0; i < n; i++)
            for(int j = 0; j < n; j++)
            ret.data[i][j] = (data[i][j] + other[i][j])%MOD;
        return ret;
    }

    Matrix operator % (const LL MOD){
        return *this;
    }

    T data[N][N];
    int n;

};

template<typename T>
T mul(T a, LL n, LL mod)
{
    T ret(1);
    for(; n ; n >>= 1){
        ret = ret*(n&1 ? a:T(1)) %mod;
        a = a*a%mod;
    }
    return ret;
}

const LL modulu[MAXN][MAXN] = {
    {1, 2, 1, 0, 0, 0},
    {1, 0, 0, 0, 0, 0},
    {0, 0, 1, 3, 3, 1},
    {0, 0, 0, 1, 2, 1},
    {0, 0, 0, 0, 1, 1},
    {0, 0, 0, 0, 0, 1}
};

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    int T;
    cin >> T;
    for(LL n; T--; ){
        cin >> n;
        if(n <= 2){
            cout << n << endl;
            continue;
        }
        Matrix<LL, MAXN> a;
        memcpy(a.data, modulu, sizeof(modulu));
        a = mul(a, n-2, MOD);
        cout << (a.data[0][0]*2 + a.data[0][1]*1 + a.data[0][2]*27 + a.data[0][3]*9 + a.data[0][4]*3 + a.data[0][5]*1)%MOD << endl;
    }
    return 0;
}