BZOJ 4028: [HEOI2015]公约数数列 【分块 + 前缀GCD】
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4028: [HEOI2015]公约数数列
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 256 MBSubmit: 1177 Solved: 456
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Description
设计一个数据结构. 给定一个正整数数列 a_0, a_1, ..., a_{n - 1}，你需要支持以下两种操作：
1. MODIFY id x: 将 a_{id} 修改为 x.
2. QUERY x: 求最小的整数 p (0 <= p < n)，使得 gcd(a_0, a_1, ..., a_p) * XOR(a_0, a_1, ..., a_p) = x. 其中 XOR(a_0, a_1, ..., a_p) 代表 a_0, a_1, ..., a_p 的异或和，gcd表示最大公约数。
Input
输入数据的第一行包含一个正整数 n.
接下来一行包含 n 个正整数 a_0, a_1, ..., a_{n - 1}.
之后一行包含一个正整数 q，表示询问的个数。
之后 q 行，每行包含一个询问。格式如题目中所述。
Output
对于每个 QUERY 询问，在单独的一行中输出结果。如果不存在这样的 p，输出 no.
Sample Input
10
1353600 5821200 10752000 1670400 3729600 6844320 12544000 117600 59400 640
10
MODIFY 7 20321280
QUERY 162343680
QUERY 1832232960000
MODIFY 0 92160
QUERY 1234567
QUERY 3989856000
QUERY 833018560
MODIFY 3 8600
MODIFY 5 5306112
QUERY 148900352
1353600 5821200 10752000 1670400 3729600 6844320 12544000 117600 59400 640
10
MODIFY 7 20321280
QUERY 162343680
QUERY 1832232960000
MODIFY 0 92160
QUERY 1234567
QUERY 3989856000
QUERY 833018560
MODIFY 3 8600
MODIFY 5 5306112
QUERY 148900352
Sample Output
6
0
no
2
8
8
0
no
2
8
8
HINT
对于 100% 的数据，n <= 100000，q <= 10000，a_i <= 10^9 (0 <= i < n)，QUERY x 中的 x <= 10^18，MODIFY id x 中的 0 <= id < n，1 <= x <= 10^9.
解题思路：
暴力出奇迹。
这种蜜汁区间查询的考虑莫队或者分块。
当然这里是分块啦，在线动态更新嘛。
每一块维护的信息有：
①：Xor[ i ] 位置 i 到它所在块的最左端的异或前缀和。
②：Gcd[ i ] 位置 i 到 它所在块的最左端的前缀GCD。
为什么这样维护前缀GCD呢？因为区间 【1~N】 的前缀GCD 肯定是递减的，，而且每次减小最少都是除以2，那么GCD的种类 最多也是logN。
由于前缀GCD是递减的，那么如果 加上一块的数据后GCD不变，那就说明这一块里所有数的前缀GCD都是不变的。
那么暴力寻解的时候我们分两类情况讨论：
一类是加上这块后 GCD不变，那么只要查询这一块里面有没有符合条件的 异或前缀和即可，（这里预处理时 hash 一下，代码用了stl里的set），查询时直接查这一块的 hash 表即可。
一类是加上这一块后GCD改变的，暴力枚举啦 logN
AC code：
1 #include <bits/stdc++.h> 2 #define LL long long 3 using namespace std; 4 const int MAXN = 1e5+10; 5 int N, M; 6 int bl[1001], br[1001], pos[MAXN], block, num; 7 int Gcd[MAXN], Xor[MAXN]; 8 int a[MAXN]; 9 set<int>S[1001]; 10 int gcd(int a, int b) {return b==0?a:gcd(b, a%b);} 11 void build(int t) 12 { 13 S[t].clear(); 14 Gcd[bl[t]] = a[bl[t]]; Xor[bl[t]] = a[bl[t]]; 15 S[t].insert(Xor[bl[t]]); 16 for(int i = bl[t]+1; i <= br[t]; i++){ 17 Gcd[i] = gcd(Gcd[i-1], a[i]); 18 Xor[i] = Xor[i-1]^a[i]; 19 S[t].insert(Xor[i]); 20 } 21 } 22 23 int main() 24 { 25 int id, val; 26 scanf("%d", &N); 27 for(int i = 1; i <= N; i++){ 28 scanf("%d", &a[i]); 29 } 30 31 block = (int)sqrt(N); 32 for(int i = 1; i <= N; i+=block){ 33 bl[++num] = i; br[num] = min(N,i+block-1); 34 for(int j = bl[num]; j <= br[num]; j++) 35 pos[j] = num; 36 } 37 38 for(int i = 1; i <= num; i++) build(i); 39 40 char com[10]; 41 scanf("%d", &M); 42 while(M--){ 43 scanf("%s", com); 44 if(com[0] == 'M'){ 45 scanf("%d %d", &id, &val); 46 a[++id] = val; 47 build(pos[id]); 48 } 49 else{ 50 LL xx = 0; 51 int Lxor = 0, Lgcd = 0; 52 scanf("%lld", &xx); 53 int flag = 0; 54 for(int i = 1; i <= num; i++){ 55 int T = gcd(Lgcd, Gcd[br[i]]); 56 if(T != Lgcd){ 57 for(int j = bl[i]; j <= br[i]; j++) 58 if((LL)gcd(Lgcd, Gcd[j])*(LL)(Xor[j]^Lxor) == xx){ 59 flag = j; 60 break; 61 } 62 if(flag) break; 63 } 64 else{ 65 if(xx%T == 0 && S[i].count((int)(xx/T)^Lxor)){ 66 for(int j = bl[i]; j <= br[i]; j++){ 67 if((LL)gcd(Lgcd, Gcd[j])*(LL)(Xor[j]^Lxor) == xx){ 68 flag = j; 69 break; 70 } 71 } 72 } 73 if(flag) break; 74 } 75 Lgcd = T; Lxor^=Xor[br[i]]; 76 } 77 if(flag == 0) puts("no"); 78 else printf("%d\n", flag-1); 79 } 80 } 81 return 0; 82 }
