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欧拉函数

定义（by Wikipedia）

在数论中，对正整数n，欧拉函数{\displaystyle \varphi (n)}\varphi (n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为φ函数（由高斯所命名）或是欧拉总计函数[1]（totient function，由西尔维斯特所命名）。

例如{\displaystyle \varphi (8)=4}\varphi (8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

 

性质

一、当 N  > 2 时， Φ( N ) 为偶数.

 

二、当 N 为素数时，Φ( N ) = N-1;

 

三、Cn 的所有子群都具有 Cd 的形式，其中d整除n（记作d | n）。因此只要考察n的所有因数d，将 Cd 的生成元个数相加，就将得到 Cn 的元素总个数：n。也就是说：

\sum _{{d\mid n}}\varphi (d)=n  

其中的d为n的正约数。

四、若：p是素数，且 n = p^k，那么φ(n) = (p-1)*p^(k-1)

 

五、对任何两个互质的正整数a, m（即 gcd(a,m) = 1），m\geq 2，有

a^{{\varphi (m)}}\equiv 1{\pmod m}

即欧拉定理。

 

六、若：p, q互质，那么：φ(p*q) = φ(p) * φ(q)

 

七、一个数 x 的所有质因数的和 φ( x )*x/2 

 

模板

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define INF 0x3f3f3f3f
 3 #define LL long long
 4 using namespace std;
 5 const int MAX = 1e5;
 6 const int MAXN = 1e5+10;
 7 int mark[MAXN];
 8 int pri[MAXN];
 9 int tot;
10 int euler[MAXN];
11 ///欧拉函数公式：euler(x) = x*(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pn),p为x的质因数。
12 LL Euler(LL n)         //单独求 N 的欧拉函数值
13 {
14     LL res = n;
15     for(LL i = 2; i*i <= n; i++){
16         if(n%i == 0) res = res/i*(i-1);
17         while(n%i == 0) n/=i;
18     }
19     if(n > 1) res = res/n*(n-1);
20     return res;
21 }
22 
23 void Euler_B()      //打表求 1~MAX 的欧拉函数值
24 {
25      euler[1]=1;
26      for(int i=2;i<MAX;i++)
27        euler[i]=i;
28      for(int i=2;i<MAX;i++)
29         if(euler[i]==i)
30            for(int j=i;j<MAX;j+=i)
31               euler[j]=euler[j]/i*(i-1);
32 }
33 
34 //////////////////////////////////////////////
35 ////线性时间内筛欧拉函数和素数//////
36 /////////////////////////////////////////
37 bool com[MAXN];
38 int primes, prime[MAXN], phi[MAXN];
39 void get_phi(int n){
40     phi[1] = 1;
41     for (int i = 2; i <= n; ++i)
42     {
43       if (!com[i])
44       {
45         prime[primes++] = i;
46         phi[i] = i-1;
47       }
48       for (int j = 0; j < primes && i*prime[j] <= n; ++j)
49       {
50         com[i*prime[j]] = true;
51         if (i % prime[j])
52           phi[i*prime[j]] = phi[i]*(prime[j]-1);
53         else
54           { phi[i*prime[j]] = phi[i]*prime[j]; break; }
55       }
56     }
57 }
58 ///////////////////////////////////////
59 int main()
60 {
61     int N;
62     Euler_B();
63     scanf("%d", &N);
64 
65     printf("%lld\n", Euler(N));
66     printf("%d\n", euler[N]);
67 
68     get_phi(N);
69     printf("%d\n", phi[N]);
70     return 0;
71 }

 

posted @ 2019-02-01 20:10  莜莫  阅读(210)  评论(0)  编辑  收藏  举报