异或的一些性质

1.异或：

相同为0
不同为1

$$0\oplus n=n$$

$$n\oplus n=0$$

2.异或定理

$$4i\oplus (4i+1)\oplus (4i+2)\oplus (4i+3)=0$$

证明：
由于异或按位进行操作，将$4i$、$4i+1$、$4i+2$、$4i+3$二进制右移两位之后，得到$4$个偶数，其数值都为$i$，因此，右移之后的异或和为$0$。
对于右移后的低位，其二进制异或为：

$$00\oplus 01=01$$

$$01\oplus 10=11$$

$$11\oplus 11=00$$

因此，上式成立。

3.$0$到$n$的异或和

记$f(n)$为$0$到$n$的异或和，即：

$$f(n)=0\oplus 1\oplus 2\oplus \cdots \oplus (n-1)\oplus n$$

$$f(n)=\{\begin{array}{ll}n,& n=4k\\ 1,& n=4k+1\\ n+1,& n=4k+2\\ 0,& n=4k+3\end{array}$$

证明：
$0、1、2、3$的异或和为$0$，因此当$n=4k+3$，即有$4$的倍数个数字时其异或和为$0$。
当$n=4k+2$，$f(n)=(n-2)\oplus (n-1)\oplus n$，将其右移两位之后，得到$3$个为$k$的数字，其异或和为$k$，左移两位为$4k$。而$00\oplus 01\oplus 10=11$，因此，异或和为$f(n)=4k+3=n+1$
。
当$n=4k+1$时，$f(n)=(n-1)\oplus n$，将其右移两位之后，得到$2$个为$k$的数字，其异或和为$0$，因此，异或和为$f(n)=0+1=1$。
当$n=4k$时，$f(n)=n$。

4.$a$ 到$a+n$的异或和

$$\begin{array}{rl}f(a,n)& =a\oplus (a+1)\oplus (a+2)\oplus \cdots \oplus (a+n)\\ & =(0\oplus 0)\oplus (1\oplus 1)\oplus \cdots \oplus ((a-1)\oplus (a-1))\oplus a\oplus (a+1)\oplus (a+2)\oplus \cdots \oplus (a+n)\\ & =(0\oplus 1\oplus 2\oplus \cdots \oplus (a+n))\oplus (0\oplus 1\oplus 2\oplus \cdots \oplus (a-1))\\ & =f(a+n)\oplus f(a-1)\end{array}$$