图论的基本知识
一、柯尼斯堡七桥问题
图论的起源
在柯尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）有一条河流，普列戈利亚河。河与陆地有七座桥相连。旅客进行游玩的时候，怎么才能走完所有的桥，并且一个桥只走一次？
1735年，欧拉指出这是一个无解的问题。将桥视为线，将陆地视为点，欧拉将这个实际问题抽象成点与线的组合问题，因此问题变成从一点出发，在所有线直走一次的前提下，怎么能经过所有的线，然后回到该点？这个问题后来被欧拉归为一笔画问题，即从一点出发，用一个笔画就画出该完整的图。
一些定义。
- 连有奇数条线的顶点称为奇顶点
- 连有偶数条线的顶点称为偶顶点
- 给定一个图，如果任意一个顶点，总有路径到达图中任意其他顶点，则这个图为连通图
- 能够通过一笔画遍历完成的图也叫做欧拉图，遍历的路径叫做欧拉路径，如果路径闭合则称为欧拉回路
若从某一点出发能再回到该点，这一点的边数必须是偶数（有出有回）。而柯尼斯堡七桥问题中的奇数顶点有4个，因此从任意一点出发，不存在走一步画能够走回该点的方法。因此柯尼斯堡七桥问题也无解。
一笔画定理
- 连通的无向图G有欧拉路径的充要条件是：G中奇顶点的数目等于0或2
- 连通的无向图G是欧拉环（两个相连的环为一个环）的充要条件是：G中每个顶点的度数为偶数
证明：
- 充分性：如果一个图为欧拉环，那么每个顶点的度都为2（有进有出），欧拉环也是欧拉图。如果一个欧拉图有奇顶点，那么奇顶点的个数为2（起点和终点），其他情况下无法每个边只走一次。因此如果一个图为欧拉图，奇顶点数为0（都为偶顶点，欧拉环）或2（一个起点，一个终点）。
- 必要性：如果一个连通图都为偶顶点，则原图也就是由一个个环组成，因为相连的环也是一个环，则原图是欧拉环，欧拉环也是欧拉回路；如果一个连通图有两个奇顶点，将这两个奇顶点再用一条边两连则这个图为欧拉环，去掉这个边的话则这个连通图依然可以由一笔画完成。
一笔画定理也奠定了图论的发展的基础（参考wikipedia）
二、哈密顿图
由起点前往指定终点，图中经过其他所有顶点均一次的图。多有顶点的路径称为汉密尔顿路径，若G中通过且仅通过每个顶点一次，则这个圈称为汉密尔顿圈。
三、树
树是不包含回路的连通图。在树中次数为1的节点是叶，次数大于1的节点为分支节点。
表示：
- T<V,E>
- (n,m)树的含义为：树中有n个顶点，m条边
生成树：
设G=<V,E> 是一个连通图，T=<V',E'> 是G的一个子图，T是树，且V'=V，E'是E的子集，称T是G的生成树。
四、图的遍历
图的遍历分为深度优先遍历（沿着一条边遍历，从头到尾）和广度优先遍历（一层一层遍历）
五、图的表示方式
1、邻接矩阵
用二维数组表示矩阵。查找时间复杂度O(1)，就是比较费内存
2、邻接表
当图比较稀疏的时候，用邻接表存储比较合适。
3、边集数组
常见的边集数组为前向星，以储存边的方式来存储图。构造方法如下：读入每条边的信息，将边存放在数组中，把数组中的边按照起点顺序排序(可以使用基数排序），前向星就构造完了。通常用在点的数目太多，或两点之间有多条弧的时候 （参考）。
前向星
链式前向星
前向星需要对边集数组进行排序。如果将边的数据结构设计成链表形式，则就不用对边集数组进行排序了
1 public class Edge { 2 private int from; 3 private int to; 4 private int weight; 5 private Edge next; 6 }
添加边
1 public void add(int f, int t, int w){ 2 edges[i].from = f; 3 edges[i].to = t; 4 edges[i].weight = w; 5 6 edges[i].next = head[f]; // head指向顶点f的第一条边的索引 7 8 head[f] = i++; 9 }
六、其他
一些概念
用 V= {v1, v2, ..., vn} 表示点集，E = {e1, e2, ..., en} 表示边集， 则图 可以表示称 G = <V, E>。
- 多重边，两个节点可以由多条边相连
- 图的阶，|V|为图的阶，即图中顶点的个数
- 完全图，任何两个顶点之间都有边相连为完全图
