Lucas定理学习笔记
Lucas定理：
此处的\(\%\)表示的是取模运算。
证明：
考虑化简\({n\choose m}=\frac{n!}{m!\times (n-m)!}\)，不难发现当n和m都远大于p的时候为了简化运算我们可以将n,m,(n-m)都给按照p分段，如果\(n\%p \geq m\%p\)，那么可以发现以分数线为界，分数线上面的整数段一定和分数线下面的整数段相同，反之则分数线上面的整数段比下面的整数段大1（这种情况不难发现答案是0）。
于是我们只考虑上面和下面整数段相同的情况，先计算剩下来的边角，根据同余可得边角料的部分为\({n\%p\choose m\%p}\)。
然后考虑对于这些整块，要如何简化运算。根据同余定理和逆元的一些性质可以得到对于分子和分母对于p同余且不是p的倍数的部分一定可以消掉，就像这样：
然后我们把分子分母同时除以一个\(p^t\)，就可以得到这部分的值为\(\lfloor{\frac{n}{p}\rfloor}\choose \lfloor \frac{m}{p}\rfloor\)了。
最后可得\({n\choose m}\equiv{\lfloor{\frac{n}{p}\rfloor}\choose \lfloor \frac{m}{p}\rfloor}\times{n\%p\choose m\%p} \mod p\)。
证毕。
以上内容均为自己的对于Lucas定理及其证明的浅解，如有错误，欢迎指正。
#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i<=i##_end_;++i)
#define DREP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i>=i##_end_;--i)
#define MREP(i,x) for(int i=beg[x],v;v=to[i],i;i=las[i])
#define debug(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
#define pb push_back
typedef long long ll;
using namespace std;
void File(){
freopen("luogu3807.in","r",stdin);
freopen("luogu3807.out","w",stdout);
}
template<typename T>void read(T &_){
T __=0,mul=1; char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){
if(ch=='-')mul=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))__=(__<<1)+(__<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
_=__*mul;
}
const int maxn=1e5+10;
int T;
ll n,m,p,fac[maxn<<1];
ll qpow(ll x,ll y){
ll ret=1; x%=p;
while(y){
if(y&1)ret=ret*x%p;
x=x*x%p;
y>>=1;
}
return ret;
}
ll calc(ll x,ll y){
if(x<p && y<p){
if(x<y)return 0;
return fac[x]*qpow(fac[y],p-2)%p*qpow(fac[x-y],p-2)%p;
}
return calc(x/p,y/p)*calc(x%p,y%p)%p;
}
int main(){
// File();
fac[0]=1;
read(T);
while(T--){
read(n),read(m),read(p);
REP(i,1,n+m)fac[i]=fac[i-1]*i%p;
printf("%lld\n",(calc(n+m,m)%p+p)%p);
}
return 0;
}
拓展卢卡斯定理：
当对于组合数取模模数不是质数的时候，一般的卢卡斯定理的逆元过程便无法实现，需要用到拓展卢卡斯。
拓展卢卡斯大概这样实现：
我们把模数拆分成\(mod=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times \cdots\times p_m^{k_m}\)的形式，然后对于每一个\(p_i^{k_i}\)，求出\({n\choose m}\equiv c_i \mod p_i^{k_i}\)，然后用中国剩余定理合并即可就可以得到最终的\(n\choose m\)。
考虑如何求\(c_i\)，可以从组合数的公式入手\({n\choose m}=\frac{n!}{m!\times (n-m)!}\)，注意到要求逆元，所以我们先把阶乘式中的\(p_i\)全部提出来最后再乘上去。
洛谷板子：
#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i<=i##_end_;++i)
#define DREP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i>=i##_end_;--i)
#define MREP(i,x) for(int i=beg[x],v;v=to[i],i;i=las[i])
#define debug(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
#define pb push_back
typedef long long ll;
using namespace std;
void File(){
freopen("luogu4720.in","r",stdin);
freopen("luogu4720.out","w",stdout);
}
template<typename T>void read(T &_){
T __=0,mul=1; char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){
if(ch=='-')mul=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))__=(__<<1)+(__<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
_=__*mul;
}
const int maxn=1e6+10;
int tot;
ll n,m,p,d[maxn],a[maxn],c[maxn];
namespace ex{
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(!b)x=1,y=0;
else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
ll inv(ll x,ll mod){
ll a,b; exgcd(x,mod,a,b);
return (a%mod+mod)%mod;
}
}
ll qpow(ll x,ll y,ll mod){
ll ret=1; x%=mod;
while(y){
if(y&1)ret=ret*x%mod;
x=x*x%mod;
y>>=1;
}
return ret;
}
ll Count(ll x,ll y){
ll ret=0;
while(x)ret+=x/y,x/=y;
return ret;
}
ll Fac(ll x,ll y,ll mod){
if(!x)return 1;
ll ret=1;
REP(i,1,mod)if(i%y)ret=ret*i%mod;
ret=qpow(ret,x/mod,mod);
REP(i,1,x%mod)if(i%y)ret=ret*i%mod;
return Fac(x/y,y,mod)*ret%mod;
}
ll calc(ll x,ll y){
ll ret=0;
REP(i,1,tot){
c[i]=qpow(d[i],Count(x,d[i])-Count(y,d[i])-Count(x-y,d[i]),a[i]);
c[i]=c[i]*Fac(x,d[i],a[i])%a[i];
c[i]=c[i]*ex::inv(Fac(y,d[i],a[i])*Fac(x-y,d[i],a[i])%a[i],a[i]);
ret=(ret+p/a[i]*ex::inv(p/a[i],a[i])*c[i])%p;
}
return (ret+p)%p;
}
void work(){
read(n),read(m),read(p);
ll tmp=p;
REP(i,2,1e6)if(tmp%i==0){
d[++tot]=i,a[tot]=1;
while(tmp%i==0)tmp/=i,a[tot]*=i;
}
if(tmp!=1)++tot,d[tot]=a[tot]=tmp;
printf("%lld\n",calc(n,m));
}
int main(){
File();
work();
return 0;
}
