[bzoj2118]墨墨的等式——同余最短路

题目大意：

墨墨突然对等式很感兴趣，他正在研究\(a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n=B\)存在非负整数解的条件
他要求你编写一个程序，给定\(N,\{a_n\}\)以及\(B\)的取值范围，求出有多少B可以使等式存在非负整数解。
\(N\leq12,0\leq a_i\leq 5\times 10^5,1\leq B_{min} \leq B_{max} \leq 10^{12}\)

思路：

题目中要求的是非负整数解，于是我们可以把每一个数看成一个物品，求所有物品可以组成的体积。
但是直接跑背包显然是接受不了的
考虑到最后的体积集合，我们把它按照a[1]（也就是任意一个数）的剩余类分类。
虽然可以组成的体积种类很多，但是按照剩余类分类之后体积的种类就只有5e5种 于是我们只需要求出每一个剩余类最小的体积就好了,每一个合法的体积一定可以表示成\(a[1]\times x+b\)。
建图其实也很简单。
每一个余数代表一个点，点u可以向点\((v+a[j])\mod a[1]\)连一条权值为a[j]的边。
从0开始单源最短路即可以得到所有余数的最小体积。

#include<bits/stdc++.h>

#define REP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i<=i##_end_;++i)
#define debug(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl
#define pii pair<ll,int>
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
typedef long long ll;

using namespace std;

void File(){
    freopen("bzoj2118.in","r",stdin);
    freopen("bzoj2118.out","w",stdout);
}

template<typename T>void read(T &_){
    T __=0,mul=1; char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-')mul=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))__=(__<<1)+(__<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
    _=__*mul;
}

const int maxn=20;
const int maxm=5e5+10;
const int maxe=6e6+10;
int n,a[maxn];
ll b0,b1,ans,w[maxe],dis[maxm];
int beg[maxm],to[maxe],las[maxe],cnte=1;

void add(int u,int v,ll val){las[++cnte]=beg[u]; beg[u]=cnte; to[cnte]=v; w[cnte]=val;}

void init(){
    read(n); read(b0); read(b1);
    REP(i,1,n)read(a[i]);
    REP(i,0,a[1]-1)REP(j,1,n)
        add(i,(i+a[j])%a[1],a[j]);
}

priority_queue< pii,vector<pii>,greater<pii> >qu;
void Dijkstra(){
    memset(dis,63,sizeof(dis));
    dis[0]=0; qu.push(mk(0,0));
    while(!qu.empty()){
        ll d=qu.top().fi; int u=qu.top().se;
        qu.pop();
        if(dis[u]!=d)continue;
        for(int i=beg[u];i;i=las[i]){
            int v=to[i];
            if(d+w[i]<dis[v]){
                dis[v]=d+w[i];
                qu.push(mk(dis[v],v));
            }
        }
    }
}

void work(){
    REP(i,0,a[1]-1){
        ll val=dis[i];
        if(val<b0)ans+=(b1-val)/a[1]-(b0-val-1)/a[1];
        else if(val<=b1)ans+=(b1-val)/a[1]+1;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}

int main(){
//	File();
    init();
    Dijkstra();
    work();
    return 0;
}