[NOIP2018]track——二分答案+树上贪心

联赛之后首次发博客...

题目大意：

给定一颗含有n个节点的树，求找出m条树上路径，使得这m条树上路径的长度的最小值最大。

思路：

大家都说这题好水，但是我联赛的时候还是没有想出来，最后暴力都打挂了。
首先看到最小值最大，这很明显是在提示我们二分答案，我们二分一个最小值\(lim\)之后在树上尽量找更多的路径长度\(\geq lim\)，然后判断这样的路径条数是否大于m。
考虑二分之后如何judge，很容易望树形dp的思路上面去想，设\(dp_u\)表示u这颗子树内最多选多少条大于lim的路径，然后考虑从子树转移过来。
假设我们目前要在u的子树v中选出一条路径，那么可以发现，如果选出了这条路径之后\(dp_v\)的贡献还减少了，那么还不如不选，因为新添加的路径至多贡献1。
于是我们从子树转移过来时便没有必要考虑\(dp_v\)的变化，我们只需要求出在满足\(dp_v\)最大的情况下求出从v的子树内可以延伸出的最长路径的长度\(len_v\)，对于u的每个儿子v，将\(len_v+w_{u,v}\)单独取出来，然后在其中找到最多的配对数量即可。同时为了保证在\(dp_u\)最大的情况下求出最大的\(len_u\)，我们把这些路径放入一个multiset中，从小到大贪心选取，最后没有选取的里面取max作为\(len_u\)即可。

#include<bits/stdc++.h>

#define REP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i<=i##_end_;++i)
#define DREP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i>=i##_end_;--i)
#define MREP(i,x) for(int i=beg[x],v;v=to[i],i;i=las[i])
#define debug(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
typedef long long ll;

using namespace std;

void File(){
	freopen("luogu5021.in","r",stdin);
	freopen("luogu5021.out","w",stdout);
}

template<typename T>void read(T &_){
	T __=0,mul=1; char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-')mul=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))__=(__<<1)+(__<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
	_=__*mul;
}

const int maxn=5e4+10;
int n,m;
int beg[maxn],las[maxn<<1],to[maxn<<1],cnte=1;
int dp[maxn];
ll w[maxn<<1],len[maxn],sum;
multiset<ll>st;
multiset<ll>::iterator it;

void add(int u,int v,ll tw){
	las[++cnte]=beg[u]; beg[u]=cnte; to[cnte]=v; w[cnte]=tw;
	las[++cnte]=beg[v]; beg[v]=cnte; to[cnte]=u; w[cnte]=tw;
}

void init(){
	read(n); read(m);
	int u,v; ll tw;
	REP(i,1,n-1)read(u),read(v),read(tw),add(u,v,tw);
}

namespace get_width{
	ll dep[maxn];
	int who[maxn];
	void dfs(int u,int f){
		dep[u]=0; who[u]=u;
		MREP(i,u)if(v!=f){
			dfs(v,u);
			if(dep[v]+w[i]>dep[u]){
				dep[u]=dep[v]+w[i];
				who[u]=who[v];
			}
		}
	}
	void work(){
		dfs(1,0);
		int ss=who[1];
		dfs(ss,0);
		sum=dep[ss];
	}
}

void dfs(int u,int f,ll lim){
	MREP(i,u)if(v!=f){
		dfs(v,u,lim);
		dp[u]+=dp[v];
	}
	st.clear();
	MREP(i,u)if(v!=f){
		st.insert(len[v]+w[i]);
		st.insert(0);
	}
	while(st.size()>=2){
		ll tmp=*st.begin();
		st.erase(st.begin());
		it=st.lower_bound(lim-tmp);
		if(it==st.end())len[u]=max(len[u],tmp);
		else ++dp[u],st.erase(it);
	}
	if(!st.empty())len[u]=max(len[u],*st.begin());
}

bool judge(ll x){
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	memset(len,0,sizeof(len));
	dfs(1,0,x);
	return dp[1]>=m;
}

void work(){
	get_width::work();
	ll l=1,r=sum;
	while(l<r){
		ll mid=(l+r+1)>>1;
		if(judge(mid))l=mid;
		else r=mid-1;
	}
	printf("%lld\n",l);
}

int main(){
	File();
	init();
	work();
	return 0;
}