Trygub Number

参考资料

做 「NOI2017」整数 的时候了解到有这个东西，支持对于 $B$ 进制数 $X$：

• 加上 $x\cdot B^y$，复杂度为 $\mathcal{O}(\log V+\log n)$。
• 查询第 $k$ 位的值，复杂度为 $\mathcal{O}(\log n)$。

复杂度是瞎写的，反正就是一个 $\log$。

具体思路是维护一个序列 $a$，其中 $a_i\in (-B,B)$，$X=\sum _{i\ge 0}{a}_i{B}^i$，每次加的时候暴力进位。为了方便查询，我们用 map 维护所有非 $0$ 位置，然后在查询的时候 lower_bound 一下看有没有进位即可。

先说明进位次数是正确的。假设 $X$ 为当前位的值，它贡献到下一位的值为 $X/B$。分两部分考虑进位：

• $X\ge 2B$，显然它会在 $\log V$ 轮之后变成下一种情况。
• $X<2B$，此时它对下一位的贡献为 $1$。定义势能函数为“临界位置”的值，即 $|a_i|=B-1$ 的位置个数。在这种情况下，一次进位至少消耗一个临界位置。而一次操作至多增加一个临界位置，所以均摊正确。

由于查询需要利用 map 维护值，所以此时的复杂度是 $\mathcal{O}(\log V\log n)$，还能再优化吗？

注意到我们修改的 map 的迭代器是连续的，你可以用 loj 上的一个帖子类似的技巧做到均摊常数访问一段连续的迭代器。所以复杂度降到了一个 $\log$。

$\mathcal{O}(\log V\log n)$ 代码

$\mathcal{O}(\log V+\log n)$ 代码

当然可以用压位做到更快，但相信没有无良出题人卡这个算法。