AGC002E Candy Piles

尝试考虑 $n = 1, n = 2, n = 3$ 的必败必胜条件，寻找一些结论，但是发现即使是 $n = 3$ 胜负情况已经有些不可描述了，说明我们必须尝试转化问题的形式。

注意到操作是全局减，常见的转化是差分，但是差分后的操作仍然没有优秀的性质。

继续思考，可以得到一个恰当的转化：注意到游戏结束当且仅当最大值 $\leq 0$ ，那么可以维护两个数 $n o w, x$ ，每次可以选择 $n o w \leftarrow n o w - 1, x \leftarrow x + 1$ ，若状态满足 $a_{n o w} \leq x$ 则为必胜态。那么问题转化为一个网格游走问题，每次可以向左或者向上，边界为必胜态。

画图可以发现状态是有规律的~~但是我没有看出来~~，所以考虑按列考虑，维护出每列的状态，考虑一些简单的情况：

$a_{2} = 6, a_{1} = 4$ ，发现 $x = 3$ 和 $x = 4$ 会有两个连续的必胜态，其余状态必胜和必败相间分布。
$a_{i + 1} = 7, a_{i} = 6$ 且 $x = 3, x = 4$ 有两个连续的必胜态，发现转移后 $x = 2, x = 3$ 有两个连续的必胜态，其余状态必胜和必败相间分布。
$a_{i + 1} = 8, a_{i} = 6$ 且 $x = 3, x = 4$ 有两个连续的必胜态，发现转移后 $x = 2, x = 3$ 以及 $x = 5, x = 6$ 有两个连续的必胜态，其余状态必胜和必败相间分布。
$a_{i + 1} = 8, a_{i} = 6$ 且 $x = 5, x = 6$ 有两个连续的必胜态，转移后所有状态必胜和必败相间分布。

归纳可得规律：

若 $a_{i + 1}$ 和 $a_{i}$ 奇偶性相同。
- 若 $x = a_{i}, x = a_{i} - 1$ 处不是连续必胜态，会在 $x = a_{i}, x = a_{i} - 1$ 两个位置插入连续必胜态，并平移其它状态。
- 否则，会删除这两个连续必胜态，并平移其它状态。
若 $a_{i + 1}$ 和 $a_{i}$ 奇偶性不同，则平移其它状态。