斯特林数 学习笔记

斯特林数

第一类斯特林数

第一类斯特林数 $\left[\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right]$ 表示将 $n$ 个有标号元素划分成 $m$ 个无标号圆排列的方案数。

递推式

考虑每次新加入一个元素，它可以单独成为一个环，或者接到任意一个元素后面，有：

$$[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}]=[\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m-1}]+(n-1)[\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m}]$$

恒等式

• $\sum _{i=0}^n\left[\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right]=n!$，众所周知排列由若干个圆排列构成。
• $x^{\bar{n}}=\sum _{i=0}^n\left[\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right]x^i$，上升幂转普通幂公式，这同时指出一行第一类斯特林数的 OGF 为 $x^{\bar{n}}$。

生成函数

从组合意义的角度推导第一类斯特林数的生成函数 $F(x)=\sum _{i\ge 0}\sum _{j\ge 0}{\displaystyle \frac{x^i}{i!}}{y}^j\left[\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right]$，注意 $x$ 这一维上是 EGF。

首先，单个环的生成函数是 $y\sum _{i=1}^n(i-1)!{\displaystyle \frac{x^i}{i!}}=-y\ln (1-x)$，多个无标号环的组合就是 $\exp (-y\ln (1-x))=(1-x{)}^{-y}$。

求一行第一类斯特林数

一行第一类斯特林数的生成函数为 $x^{\bar{n}}$，考虑如何快速求出 $x^{\bar{n}}$，可以分治 FFT 得到一个 $\mathcal{O}(n{\log }^{2}n)$ 算法，下面介绍一种 $\mathcal{O}(n\log n)$ 的算法。

仍然考虑和分治类似的思路：倍增。考虑设 $F_i(x)=x^{\bar{n}}$，问题有两个：

• 根据 $F_i(x)$ 得到 $F_{2i}(x)$，发现 $F_{2i}(x)=F_i(x)F_i(x+i)$，利用多项式平移做到 $\mathcal{O}(n\log n)$。
• 根据 $F_i(x)$ 得到 $F_{i+1}(x)$，暴力卷上一项是线性的。

事实证明，倍增在求多项式幂上是比分治更为优秀的结构。

求一列第一类斯特林数

考虑生成函数，有 $[y^m]\exp (-y\ln (1-x))={\displaystyle \frac{(-\ln (1-x){)}^m}{m!}}$，使用多项式快速幂可以做到 $\mathcal{O}(n\log n)$。

cmd 提到了一种小常数做法，但是不想学。不过 $\prod _{i=1}^n(1-ix)$ 是 $\prod _{i=1}^n(x-i)$ 的翻转，把 DP 式子写出来转化一下定义就可以发现了。

第二类斯特林数

第二类斯特林数 $\left\{\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right\}$ 表示将 $n$ 个有标号元素划分成 $m$ 个非空无标号集合的方案数。

递推式

考虑每个元素，要么加入前面的一个集合，要么新建一个集合，有：

$$\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\}=\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m-1}\}+m\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m}\}$$

对比第一类斯特林数的递推式，不同的只有后面一项的系数。

恒等式

• $x^n=\sum _{i=0}^n\left\{\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right\}{x}^{\underset{―}{i}}$，普通幂转下降幂公式。
• $\left\{\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right\}m!=\sum _{i=0}^m{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})}(-1{)}^{m-i}{i}^n$，通项公式。可以利用容斥解释，也可以对上面二项式反演。

生成函数

从组合意义的角度推导第二类斯特林数的生成函数 $F(x)=\sum _{i\ge 0}\sum _{j\ge 0}{\displaystyle \frac{x^i}{i!}}{y}^j\left\{\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right\}$，注意 $x$ 这一维上是 EGF。

考虑单个集合的生成函数为 $y(e^x-1)$，多个集合就是 $\exp (y(e^x-1))$。

求一行第二类斯特林数

通项公式就是卷积形式。

求一列第二类斯特林数

考虑 $[y^m]\exp (y(e^x-1))={\displaystyle \frac{(e^x-1{)}^m}{m!}}$，使用多项式快速幂即可。

斯特林反演

有斯特林反演公式：

$$f_n=\sum _{i=0}^n[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}]g_i\iff g_n=\sum _{i=0}^n\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\}(-1{)}^{n-i}{f}_i$$

因为题目太少了，目前只知道可以钦定一些元素在一些等价类中，然后容斥。

上述式子也指出了下降幂转普通幂和普通幂转上升幂的公式：

$$\begin{gathered} x^{\underset{―}{n}}=\sum _{i=0}^n\left[\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right](-1{)}^{n-i}{x}^i \\ {x}^n=\sum _{i=0}^n\left\{\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right\}(-1{)}^{n-i}{x}^{\bar{i}} \end{gathered}$$

没做过题，不会用。

习题

CF960G

考虑只有前缀最大值的限制怎么做，考虑一个 DP。设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个有 $j$ 个最大值的方案数：

$$f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+j{f}_{i-1,j}$$

这就是第一类斯特林数，所以有 $a$ 个前缀最大值方案数是 $\left[\begin{array}{c}n\\ a\end{array}\right]$。

考虑原问题。发现前缀最大值和后缀最大值之间相互独立，枚举最大值位置：

$$\sum _{i=1}^n\left[\begin{array}{c}i-1\\ a-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}n-i\\ b-1\end{array}\right](\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i-1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b-2}{a-1})\left[\begin{array}{c}n-1\\ a+b-2\end{array}\right]$$

组合意义不难证明。

但是发现第一类斯特林数没有通项公式，所以只能写多项式。