CF1708

菜鸡选手只能打 Div.2 维持生活。

这次 10min 过了 AB，实力强劲！

C（二分、贪心）

然而还是卡 C 了。

发现答案下界是 $\sum _{i=1}^n[a_i\le q]$。考虑选哪些满足 $a_i>q$ 的 $i$。发现选的数在所有满足条件的数中是一个后缀，并且如果最后降智为 $0$ 是不优秀的。直接从后往前扫维护最终值并不好做，但是没关系，我们直接二分就好了。

但是上面做法实际上相当蠢。考虑最优的情况最后是 $0$，那么从 $0$ 开始往前倒推就可以了。虽然有可能出现直接从 $x$ 掉到零下的情况，但是 $x$ 能做 $0$ 肯定是能做的。我在想的时候没有仔细探讨这一点。

感觉有些信息维护不了的时候可以套上一个二分？

D

Wrong Answer on test 7.

先瞪这个题。直觉告诉我们差分数组并不会太大。假设差分数组是 $b_i$。那么有关系式：$\sum _{i=1}^{n-1}\le a_n$。发现本质不同的 $b$ 只有 $\sqrt{a_n}$ 个！那么我们开个 map 维护本质不同的元素然后暴力就好了。

令人谔谔的是我的直觉还告诉我若干个 $x$ 答案是 $x$。然后寄了。

E（dfs 树）

感觉丢 D 看这个 E 可能更好。但是还是做了好久，最近好像接受了一些奇怪的 DP 技巧后魔怔了，不会推充要条件了。

显然 MST 和 dfs 树都是唯一的。考虑什么时候不合法，对于一条非树边 $(u,v)$，搜到 $u$ 的时候如果 $v$ 没被遍历那么就不行，搜到 $v$ 后遍历 $u$ 也不行，那么唯一的情况是 $u$ 是 $v$ 的祖先边。考虑这样做的道理，显然 $u$ 在 MST 上走向 $v$ 的那条边的边权小于 $(u,v)$ 的边权，所以合法当且仅当树上 $u,v$ 为祖先-儿子关系。

怎么做都可以。

F（二项式反演、DP）

再次感到了被 DP 和容斥支配的恐惧。

我开始想定义 $f_{i,j}$ 表示 $i$ 子树在 $j$ 次操作之后只剩下根的方案数。转移即考虑合并两个集合序列。这样可以 $O(n^3)$，然后就不知道怎么优化了。

发现可以通过二项式反演放宽一些限制。考虑对于这个塔结构，去除掉 $S_i\ne S_{i+1}$ 的条件。那么假设原答案是 $F_i$，可以相等的条件是 $G_i$，那么通过钦定相等的位置可以得到 $G_i=\sum _{j\le i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})F_j$，反演一下，问题就转化为了求 $G$。

考虑合法的条件：若两个属于 $u$ 不同子树的结点 $x,y$ 都没有被删除，那么 $u$ 也不会被删除，这等价于如果 $u$ 被删除，那么子树只能留一个。这可以考虑定义 $g_{u,i}$ 表示 $u$ 子树在 $i$ 次操作后被删空的方案数。因为一次删完是合法的，所以可以定义 $f_{u,i}$ 表示 $u$ 子树在 $i$ 次操作后还有点的方案数。显然有 $g_{u,i}=f_{u,i-1}$。

考虑怎么转移 $f$，分两种情况：$u$ 和所有结点一起删除，$u$ 在所有结点被删完之前就删完了，换句话说 $u$ 在删除前是/不是一个二度点。对于第一种情况，只需要子树合法即可，那么：

$$f_{u,i}=\prod _{v\in {\text{son}}_u}\sum _{j=0}^i{f}_{v,j}$$

可以做前缀和是因为我们后面容斥掉了。

对于第二种情况，枚举最后剩下的那棵子树和 $u$ 被删除的时间点，有：

$$f_{u,i}=\sum _{v\in {\text{son}}_u}{f}_{v,i}\sum _{p<i}\prod _{x\ne v,x\in {\text{son}}_u}\sum _{j=0}^p{f}_{x,j}$$

随便前缀和一下就 $O(n^2)$ 了。

回顾这个题，首先我们用二项式反演放宽了一个限制 $S_i\ne S_{i+1}$，然后紧扣删除时间点的性质定义了表示时间点 $i$ 被删空代表的状态 $g_{u,i}$，从而得到了一个封闭转移。总之，容斥放宽限制的方法，切合条件定义状态的原则要时刻牢记。