CF1704

vp 拿到了 rk5500+ 的成绩，不愧是我。

以后的总结里我认为比较有意义的题会标 $!$，难题标 $\ast$。

C（贪心）

开始读错题了以为是序列，后来发现是个环。。假设 $i$ 和 $(imodm)+1$ 之间的长度是 $L_i$，可以发现每次取最长的最优，直接做就好了。

$!$D

神秘题。算是对数列下标的一个观察。

考虑寻找一个不变量，而在值域上观察没有什么好的结果。考虑操作 $(i,j)\to (i-1,j+1)$ 和 $(i,j)\to (i-1,j+2)$ 的区别，发现后面下标的和是 $i+j+1$，前面则不变。所以假如我们把每个“1”看做球，数组位置看做盒子，假如对每个球所处的盒子编号求和那么前面和不变后面和恰好 $+1$。之后就不难做了。

E（DP）

全部都非 $0$ 很好做。引入 $f_i$ 表示 $i$ 归零的时间，那么有转移 $f_v=a_v+\sum _{(u,v)\in E}{f}_u$。如果有 $0$ 那么就模拟一下使得所有可能非 $0$ 的位置非 $0$。这个过程最多 $O(n)$ 步，可以直接模拟。

$!$F（博弈、SG 函数）

开始以为不能碰白格子懵逼了好久。

两边的策略显然是先抢对方的再碰自己的。如果 R,B 数量不相等就做完了。如果 RB 数量相等，那么第一个拿不到 RB 的人就输了。此时游戏变成了一个公平组合游戏，可以引入 SG 函数来处理。把形如 RBRBRBR 的子区间提取出来，那么当前局面的 SG 值就是它们的异或和。对于单个子区间，答案只和它的长度有关。引入 $f_n$ 表示长度为 $n$ 的 SG 值，它的所有后继局面是 $\mathrm{\forall }i\in [0,n-2],[i]\times [n-i-2]$（此处用 $\times$ 表示游戏的组合），DP 可以 $O(n^2)$ 求出 $f$。把 $f$ 打个表发现有个长度为 $34$ 的循环节。这样就可以 $O(n)$ 做了。

找循环节可以善用 Ctrl+F。

$\ast$G（字符串匹配、构造）

想了两天后放弃的题。

先考虑枚举起点 $i$ 然后判断，如果把 $a_i$ 和 $a_{i+1}$ 放在一起观察，就可以发现 $b_j-a_i+b_{j+1}-a_{i+1}$ 恰好为 $\sum _{j=1}^{i+1}[j\in S](-1{)}^{j-i+1}$。如果把相邻两项做差，可以发现它代表的就是 $i+2$ 是否放置，这个值是在 $[0,1]$ 之间的。

定义 $c_i$ 表示 $a_{i-2}+2a_{i-1}+a_i$，$d_i$ 为 $b_{i-2}+2b_{i-1}+b_i$，那么一个必要条件是 $\mathrm{\forall }j\in [i+2,i+m-1],d_{j-i+1}-c_j\in [0,1]$。这像极了一个字符串匹配问题，可以用 FFT 做到 $O(n\log n)$ 或者用 bitset 做到 $O(n^2/w)$。

上面的考虑实际上忽略了 $a_i$ 和 $a_{i+1}$ 的处理。我们需要 $i+1$ 以前操作对 $a_i$ 操作的和为 $b_1-a_i$，并且奇偶个数差为 $b_1+b_2-a_i-a_{i+1}$。这个问题相当于在 $\{0,2,4,\cdots \},\{1,3,5,\cdots \}$ 中各自选 $a,b$ 个数使得 $b-a=x$ 且差为 $y$。可以先钦定选所有偶数，然后问题就相当于在 $[1,i+1]$ 中选 $p$ 个数使得和为 $q$。连续非负整数中选数的一个结论是若所有能表示出来的数是连续的，那么只要求最小值和最大值即可。构造的话只需要从大往小选，如果不选会使得后面不合法就选。到这里就做完了。

一些反思：虽然考虑 $i$ 和 $i+1$ 对应的两个相关限制很精妙，但事实上如果把选与不选看做 $0/1$，那么条件相当于一个方程组。做一下消元就可以立即得到上面结论。还有这个选数问题先钦定竟然没想到，枯了。

一些补充：用 FFT 做字符串匹配的过程是把匹配的条件转化成一个代数式，并使他为 $0$。比如这里就是 $(d_i-c_j)(d_i-c_j-1)=0$。然后条件的逻辑与相当于求和后也为 $0$，这可以用 FFT 求出来。用 bitset 实际上就是考虑字符 $d_j$ 能与哪些位置匹配，然后对所有 $d_j$ 对应的位置取交就是答案。不能直接上 KMP 的原因是真实的 border 可能比传统意义上的 border 要长，因为匹配并不一定完全相等。

$!$H1

上面那个 G 已经消耗掉了我改 H 的欲望，所以咕了

还是来补下 H1。一开始被题目的奇怪操作折磨了好久，然后才意识到可以建图。建出图来被 $p_i$ 干扰了好久还是不会做。。

考虑固定 $b$ 计数 $a$，那么 $b$ 对 $a$ 的一个显然的限制是：$b_i\ne i,a_{b_i}=i$。尝试在抽象的模型上讨论问题。把这个限制建个图可以发现合法的图为若干条链，并且这样的链集合和原来的 $b$ 是一一对应的。那么继续考虑什么样的 $a$ 能构造出链。这个问题等价于考虑链的顶端和孤立点怎么填。链的顶端是任意填的，单点不能填链尾因为我们不能通过操作 $p$ 来让后面的点覆盖这个单点的操作。上面就是一个充要条件了。那么可以枚举单点和链的个数。答案为：

$$\sum _i\sum _j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(n-i-j{)}^i(n-i)!(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i-j-1}{j-1})\frac{1}{j!}(n-1{)}^j$$

$i$ 是单点个数，$j$ 是链的个数。意思是先把 $i$ 个点分开并标号，然后把点看成球，链看成盒子塞进去。最后由于盒子是没区别的所以除个 $j!$ 即可。

看到这种奇怪的题多建图，多分离无关条件，还有不要看到啥都想 DP。