学习笔记-拉格朗日插值

公式

拉格朗日插值可以用 $n+1$ 个点值插出一个 $n$ 次多项式。对于 $(x_i,y_i)$，有如下性质：

$$f(x)-y_i\equiv 0(\mathrm{mod}(x-x_i))$$

显然 $m_i=\prod _{j\ne i}(x-x_j)$，$m_i$ 在模 $x-x_i$ 意义下的逆为 $\prod _{j\ne i}(x_i-x_j)$。根据中国剩余定理：

$$f(x)=\sum _{i=0}^n{y}_i\prod _{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

这就是拉格朗日插值公式，时间复杂度 $O(n^2)$。

一般而言，$(x_i,y_i)$ 是我们自己决定的，所以通常 $x$ 可以取 $[0,1,2,\cdots ,n]$。此时带入公式：

$$f(x)=\sum _{i=0}^n{y}_i\frac{1}{(n-i)!(-1{)}^{i}i!}\prod _{j\ne i}(k-j)$$

对 $k-j$ 分别求前缀积和后缀积即可。时间复杂度 $O(n)$。

有时候我们还需要知道多项式的系数，观察式子，分子部分是好处理的，分母部分相当于：

$$\frac{\prod _{j=0}^n(x-x_j)}{x-x_i}$$

考虑到下面只有两项，$O(n)$ 做多项式除法即可。总时间复杂度 $O(n^2)$。

应用

拉格朗日插值通常有两种理解：

• 答案是一个多项式，并且多项式次数较少。此时可以将所求值直接带入多项式。
• 直接维护多项式复杂度太高，使用拉格朗日插值优化。

更一般的，插值法实际上指的是函数系数和参数无关的情况，先待定系数，然后带入特殊的参数构造和系数有关的方程求解系数。详见 CF1119H。

自然数等幂和

给定 $n,k$，求解 $\sum _{i=1}^n{i}^k$。$k\le {10}^6$。

对应类型一。

对函数 $\mathrm{\Delta }f(n,k)=f(n,k)-f(n-1,k)$ 是一个 $k$ 次多项式，可以知道原答案是一个 $k+1$ 次多项式。代入 $1\sim k+2$ 点值计算，然后使用上面 $O(n)$ 插值即可。

xzy 讲课题

给定 $n$ 个点的无向图，边有 $0,1,2$ 三种颜色，对于每个三元组 $(x,y,z)$ 求出 $0,1,2$ 颜色数分别为 $x,y,z$ 的方案数。$n\le 50$。

显然可以不用管 $z$，那么考虑 $(x,y)$。显然可以把边权写成一个二元 GF，然后矩阵树定理求出边权乘积，求出乘积之后再求出系数。这样做是 $O(n^6)$ 的。考虑拉格朗日插值。不过拉插仅限于一元多项式，所以考虑把指数 $(a,b)$ 压到一个 $n$ 进制二进制数中，变成 $a+nb$，即把 $0$ 标为 $x$，$1$ 标为 $x^n$。此时我们得到了一个次数为 $n^2$ 的多项式，带入 $n+1$ 个 $x$ 解出多项式并还原系数即可。时间复杂度 $O(n^5+n^4)$。