【NOIP训练】【规律+数论】欧拉函数的应用

Problem 1

【题目大意】

给出 f(i)=\sum_{(x,i)=1}x\,,\,g(i)=\sum_{x|i}f(x)

多组数据 $T\leq1000$，给出  n\,(n\leq10^9) 求出 g(n) 。

 

题解

f(i)=\frac{\phi(i)n}{2}

证明:  $\phi$(i) 除了 i=2 以为均为偶数， 所以互质的个数成对。

由 (a,n)=1 得 (n-a,n)=1 。

所以对于每对的和为 n ， 共有 \frac{\phi(i)}{2} 对 。

则 f(i)=\frac{\phi(i)n}{2}

 

 

Problem 2

【题目大意】

在第一个圆上写入  1 ，在第二个圆上写入1,2 ，此后每一次在前一个圆的基础上，每两个数之间写上他们的和，定义 f(i) 为第i个圆中数字i的个数。

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给出 n\，(n\leq10^7) ，求 f(n) 。

 

题解

f(i)=\phi(i)

证明：(a,b)=1 则 (a,a+b)=1,(b,a+b)=1，圆中的数字相邻两两互质。

对于一个数字 n=a+b 只可能由与他互质的两个数 a,b 相加而成并且每一种构造方法是唯一的。

所以 f(i)=\phi(i) 。

posted @ 2016-09-10 13:17  yljiang  阅读(495)  评论(0)  编辑  收藏  举报