Python数据结构与算法分析（二、算法分析）

算法分析

时间空间复杂度

程序和算法不同，其执行的时间和占用的空间也不同，如何比较两种算法的优劣呢？引入大 $O$ 记法进行算法复杂度的评价。

$f(n)$	名称
$1$	常数
$logn$	对数
$n$	线性
$nlogn$	对数线性
$n^2$	平方
$n^3$	立方
$2^n$	指数

【举例】

1. 常数 $O(1)$

n = 1024
m = 512
z = n + m
print(z)

变量的变化并不影响执行指令的条数，此时复杂度为$O(1)$，与数据输入的规模无关

2. 对数 $O(logn)$

i = 1
while(i < n):
    i = i * 2

$2^k = n, k = logn(以2为低)$，此时，执行$1+logn$ 次，算法复杂度为$logn$

3. 线性 $O(n)$

sum = 0
for i in range(n):
    sum += i

循环体内按步长1循环，循环一轮，也即 $n$ 次

4. 对数线性 $O(nlogn)$

i = 1
for i in range(n):
    while(i < n):
        i = i * 2

内层为对数，外层为线性

5. 平方 $O(n^2)$

sum = 0
for i in range(n):
    for j in range(n):
        sum += j

两层 $n$ 次循环，一般用于二维数组

6. 立方 $O(n^3)$

sum = 0
for i in range(n):
    for j in range(n):
        for k in range(n):
            sum += k

三层 $n$ 次循环

7. 指数 $O(2^n)$

def f(n):
    if n < 3:
        return 1
    else:
        return f(n-2) + f(n-1)

上述为求解第 $n$ 个斐波那契数列的递归算法，如图所示为求解$f(5)$，当$n-∞$ 时，复杂度为$2^n$

Python数据结构的性能

列表

Python中关于列表的基本操作，如果生成一个长为n的列表，有以下四种常见的操作：

# 通过连接创建列表
def test1():
    l = []
    for i in range(n):
        l = l + [i]
# 通过追加方式
def test2():
    l = []
    for i in range(n):
        l.append(i)
# 列表解析式
def test3():
    l = [i for i in range(n)]
# 列表构造器
def test4():
    l = list(range(n))

此时可以看出，不同的列表创建方式，其执行的效率有着数量级的变化。同样的，可以使用Timer进行pop的性能分析。下表为Python中列表操作的复杂度值：

字典

注意，判断某个值是否在字典中的复杂度为$O(1)$，时间不会随着字典长度变大而边长，但是对于列表，其复杂度为$O(n)$，时间会随着列表的增大而增大。

讨论题

1. $O(n^2)$
2. $O(n)$
3. $O(n)$
4. $O(n^3)$
5. $O(n)$
6. $O(n)$