学习笔记——割点与桥

一、割点、桥基本概念

给定无向图 $G=(V,E)$。

对于一个点 $u\in G$ ，删除一个节点 $u$与该节点所有相连的边后，该图不连通，则称点 $u$ 为割点。

对于一条边$\{U,W\}\in G$，删除一条边 $\{U,W\}$ 后，该图不连通，则称边 $\{U,W\}$ 为桥。

二、暴力算法

对于割点，枚举每个点，看删去这个点后整个图是否连通，若不连通则此点为割点。

对于桥，枚举每条边，看删去这条边后整个图是否连通，若不连通则此边为桥。

朴素做法时间复杂度： $O(n(n+m))$，复杂度极高。

三、Tarjan 算法

定义 $dfn[i]$ 表示节点 $i$ 的 dfs 序。如图：

定义 $low[i]$ 表示节点 $i$ 通过返祖边和绕路，能到达的节点里最小的 dfn 值。如图：

（蓝框数字表示 $low$，红框数字表示 $dfn$）

那么问题转化为 $low$ 的求法。

dfs 过程中，正在节点 $u$，有边 $(u,v)$，有两种情况：

• $vis[v]=0$，代表 $v$ 未被遍历过，则 $v$ 为 $u$ 的子节点。则 $v$ 作为 $u$ 的子节点，一定会对 $u$ 做出贡献：

$$low[u]=min(low[u],low[v])$$

（即如果子节点能到达更小 $dfn$ 的点，点 $u$ 也一定能沿着子节点到达）

• $vis[v]=1$，代表 $v$ 已经被遍历过，则 按照 dfs 的规律，$dfn[v]<dfn[u]$，则边 $(u,v)$ 为一条从 $u$ 到 $v$ 的返祖边。此时,

$$low[u]=min(low[u],dfn[v])$$

(即用 $u$ 已经搜索到的最小 $dfn$ 的节点与 $v$ 节点进行比较）

四、割点的判定

• 对于根节点，若有两棵及以上的子树，则根节点为割点。

• 对于非根节点 $u$，若其子树中任意一个节点 $v$ ，均满足

$$dfn[u]\le low[v]$$

则说明该节点为割点。因为一旦去除 $u$，则 $u$ 的子树与其他节点并不连通。

五、桥的判定

• 对于边 $\{U,W\}$，若 $w$ 的子树中任意一个节点 $v$ ，均满足

$$dfn[w]<low[v]$$

则说明该边为割边。因为一旦去边 $\{U,W\}$，则 $w$ 的子树与其他节点并不连通。

参考核心代码：

void tarjan(int x){
	dfn[x]=low[x]=++num;
	int f=0;
	for (int i=head[x]; i; i=nxt[i]){
		int y=ver[i];
		if(!dfn[y]){
			tarjan(y);
			low[x]=min(low[x], low[y]); 
			if(low[y]>=dfn[x]){ //求割点，如果是割边换成low[y]>dfn[x]
				f++;
				if(x!=root||f>1) cut[x]=1;
			}
		}
		else low[x]=min(low[x], dfn[y]);
	}
}