BZOJ 2440 完全平方数（莫比乌斯反演+二分查找）

题目链接：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=23362

题意：定义含有平方数因子的数为完全平方数（平方数因子不包含1）。求第k个非完全平方数。

思路：我们先求出[1, n]的非完全平方数的个数，然后利用二分来查找正好等于k时的n（注意这样的n可能不止一个，求最左边的）。关键是，怎么求出前者，我们可以利用容斥原理，用n - [1, n]内完全平方数的个数，求[1, n]内完全平方数的个数，用容斥发现前面的系数就是莫比乌斯函数，直接用莫比乌斯反演即可，结果为sigma(mu[i]*(n/(i*i)))。

code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long LL;

const LL INF = 2e10 + 7;
const int MAXN = 100005;

bool check[MAXN];
int primes[MAXN];
int mu[MAXN];
LL k;

void moblus()
{
    memset(check, false, sizeof(check));
    mu[1] = 1;
    int cnt = 0;
    for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
        if (!check[i]) {
            primes[cnt++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for (int j = 0; j < cnt; ++j) {
            if (i * primes[j] > MAXN) break;
            check[i * primes[j]] = true;
            if (i % primes[j] == 0) {
                mu[i * primes[j]] = 0;
                break;
            } else {
                mu[i * primes[j]] = -mu[i];
            }
        }
    }
}

LL cal(LL n)
{
    LL ret = n;
    for (LL i = 2; i * i <= n; ++i) {
        ret += mu[i] * (n / (i * i));
    }
    return ret;
}

int main()
{
    moblus();
    int nCase;
    scanf("%d", &nCase);
    while (nCase--) {
        scanf("%lld", &k);
        LL lhs = 1L;
        LL rhs = INF;
        LL mid;
        while (lhs < rhs) {
            mid = (rhs + lhs) / 2;
            LL tmp = cal(mid);
            if (tmp < k) lhs = mid + 1;
            else rhs = mid;
        }
        printf("%lld\n", lhs);
    }
    return 0;
}