面试题9（变形）：矩形覆盖

题目链接：http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1390

思路：设用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形的方法数为Fn

1、考虑最后一个小矩形，假设他是竖着的，那么前n-1个小矩形可以任意放，有Fn-1种放法

2、考虑最后两个小矩形，假设他们都是横着放，那么前n-2个小矩形可以任意放，有Fn-2中放法

上面两种情况是否既包含n个小矩形的所有放法，又不存在重复计算呢？

首先考虑是否会重复，显然不会，最后两个小矩形的放法不一样，不可能重复。

再考虑是否包含了所有情况，我们可以换个角度想想，有没有一种放法不对应到上面的两种情况之一，

我们只能考虑最后两个是否没对应上，因为前面的n-2个包含了所有放法，显然不会出现不对应的情况。

递推公式：Fn = Fn-1 + Fn-2

注：考虑递推时，最重要的是，不重不漏！！！

code:

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int M = 2;
const int MOD = 1000000007;
typedef long long LL;
LL ans[M][M];
LL tmp[M][M];

// 矩阵乘法
void matrixMul(LL mat1[M][M], LL mat2[M][M])
{
    LL mat3[M][M];
    for (int i = 0; i < M; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < M; ++j)
        {
            mat3[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k < M; ++k)
                mat3[i][j] += mat1[i][k] * mat2[k][j];
        }
    }
    memcpy(mat1, mat3, sizeof(mat3));
}

// 矩阵快速幂
void matrixQuickMod(int n)
{
    tmp[0][0] = 1;
    tmp[0][1] = 1;
    tmp[1][0] = 1;
    tmp[1][1] = 0;

    // 将ans处理成单位矩阵
    memset(ans, 0, sizeof(ans));
    for (int i = 0; i < M; ++i) ans[i][i] = 1;

    while (n)
    {
        if (n & 1) matrixMul(ans, tmp);        // 当n为奇数时，跟新ans
        n >>= 1;
        matrixMul(tmp, tmp);    // 当n为偶数时跟新tmp
    }
}

int main()
{
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        matrixQuickMod(n);
        printf("%lld\n", ans[0][0]);
    }
    return 0;
}