【模板】最近公共祖先LCA——倍增

题目来自洛谷P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

【模板】最近公共祖先（LCA）

题目描述

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入格式

第一行包含三个正整数 $N,M,S$，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来 $N-1$ 行每行包含两个正整数 $x, y$，表示 $x$ 结点和 $y$ 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。

接下来 $M$ 行每行包含两个正整数 $a, b$，表示询问 $a$ 结点和 $b$ 结点的最近公共祖先。

输出格式

输出包含 $M$ 行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

样例 #1

样例输入 #1

5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5

样例输出 #1

4
4
1
4
4

提示

对于 $30\%$ 的数据，$N\leq 10$，$M\leq 10$。

对于 $70\%$ 的数据，$N\leq 10000$，$M\leq 10000$。

对于 $100\%$ 的数据，$1 \leq N,M\leq 500000$，$1 \leq x, y,a ,b \leq N$，不保证 $a \neq b$。

样例说明：

该树结构如下：

第一次询问：$2, 4$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

第二次询问：$3, 2$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

第三次询问：$3, 5$ 的最近公共祖先，故为 $1$。

第四次询问：$1, 2$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

第五次询问：$4, 5$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

故输出依次为 $4, 4, 1, 4, 4$。

2021/10/4 数据更新 @fstqwq：应要求加了两组数据卡掉了暴力跳。

最近公共祖先——树上倍增

预处理（倍增） $O(nlogn)$

$fa[i, j]$表示从$i$结点出发，向上跳$2^j$步所抵达的节点编号；
求解方式:
$j = 0, fa[i, 0] = i的父节点$
$j > 0$, $i$向上跳$2^{i-1}$步后再跳$2^{i-1}$步就可以跳到$2^i$的位置，所以$\forall 0 < j \leq Max$， $$fa[i, j] = fa[fa[i, j-1], j-1]$$
$depth[i]$表示结点$i$的深度；
哨兵: $depth[0] = 0; fa[i, j]=0$, 表示$i$向上跳$2^j$步跳出根结点的范围。
实现方式: $DFS或BFS$

查询 $O(log n)$

查询分两步走：
（$1$）先将两个点跳到同一层
该步骤可以使用二进制拼凑的方式来实现。假设$depth[x] > depth[y]$，则两者之间的差距为$k = depth[x] - depth[y]$，由于是按照$2$的整数幂向上跳，所以可以通过取$k$的二进制表示中$1$所在的位对应的权值进行跳跃即可将$x$跳到与$y$同一层。
在实现过程中，可以从大到小枚举指数$e$，当$depth[fa[x][e]] >= depth[y]$时，$x=fa[x][e]$, 这样当$x$跳到与$y$同一层时就会停止跳跃。
如果在这一步后$x == y$, 则直接返回$x$.

（$2$）两个点同时向上跳，直到跳到最近公共祖先的下一层
为什么是下一层？因为如果直接判断是否跳到同一个节点，无法判断是否为最近的公共祖先，而有可能只是一个公共祖先。
判断条件: 从大到小枚举指数$i$, $fa[x, i] \neq fa[y, i]$, $x = fa[x, i], \, y = fa[y, i]$。
当$fa[x, i] == fa[y, i]$时，证明此时$x, y$已经跳到了最近公共祖先的下一层, 此时$f[x][0]$或$f[y][0]$就是答案。

#include<bits/stdc++.h>
 
const int N = 500050;
 
int n, m, s;
std::vector<std::vector<int>> g(N);
int f[N][22];
int depth[N];
 
void pre(int root){
	memset(depth, 0x3f, sizeof depth);
	std::queue<int> q;
	q.push(root);
	depth[root] = 1;
	depth[0] = 0;
 
	while(!q.empty()){
		auto u = q.front();
		q.pop();
 
		for(auto v:g[u]){
			if(depth[v] > depth[u] + 1){
				depth[v] = depth[u] + 1;
				f[v][0] = u;
				q.push(v);
				for(int k = 1; k <= 20; k ++ ){
					f[v][k] = f[f[v][k - 1]][k - 1];
				}
			}
		}
	}
}
 
int lca(int a, int b){
	if(depth[a] < depth[b]) std::swap(a, b);
 
	for(int k = 20; k >= 0; k -- ){
		if(depth[f[a][k]] >= depth[b]){
			a = f[a][k];
		}
	}
	if(a == b) return a;
	for(int k = 20; k >= 0; k -- ){
		if(f[a][k] != f[b][k]){
			a = f[a][k];
			b = f[b][k];
		}
	}
 
	return f[a][0];
}
 
int main(){
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(0);
 
	std::cin >> n >> m >> s;
	for(int i = 0; i < n - 1; i ++ ){
		int x, y;
		std::cin >> x >> y;
		g[x].push_back(y);
		g[y].push_back(x);
	}
 
	pre(s);
 
	while(m -- ){
		int a, b;
		std::cin >> a >> b;
		int anc = lca(a, b);
		std::cout << anc << '\n';
	}
 
	return 0;
}

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本文作者：天涯海角寻天涯
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