【动态规划】——最大子序和

今天总结一下有关动态规划问题中最大子序和的问题。

53.最大子数组和

题目要求给定一个数组，让我们求出最大连续子数组的和。我们使用动态规划来解决此类问题。

dp[i]表示以nums[i]结尾的连续子序列的和的最大值。那么我们要求的答案就是max{dp[i]}.其状态转移方程很容易就看出为dp[i]=max(dp[i],dp[i]+dp[i-1])。因为dp[i]需要尽可能的大，所以当dp[i-1]+dp[i]大于dp[i]时，我们更新dp[i]的值。代码如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();
        vector<int> dp(nums);
        dp[0]=nums[0];
        for(int i=1;i<n;i++){
            dp[i]=max(dp[i],dp[i]+dp[i-1]);
        }
        int ans=*max_element(dp.begin(),dp.end());
        return ans;
    }
};

918.环形数组的最大和

这个题目题干给的很复杂，力扣官方的题解也不是写给人看的（至少我这种菜鸟完全看不懂写的什么天书）。但其实就是两种情况：

1、最大子数组和出现在数组内部：举个例子：

a1,a2,a3,(a4,...,ai,ai+1,ai+2,)...,an-1,an。其中a[4:i+2]就是我们所要求的和最大的子数组。这种情况与前面所述的最大子数组和问题一模一样。

2、最大子数组和出现在数组连接处：

(a1,a2,a3,a4),...,ai,ai+1,ai+2,...,(an-1,an)，其中an-1，an，a1，a2，a3，a4即为我们所求。这个情况我们需要意识到一点：

数组和=最大子序列和+最小子序列和

上述式子其实很好理解：一个数组的和为Sn，其中最大的连续子序列和为An，由于数组为循环数组，首尾相接，剩下部分也是一个连续的子数组，这一部分的和Bn也就是整个数组的最小子序列和。因为如果Bn不是最小子序列和，那么从该子序列中还可以再分出一个子序列，这个子序列的和可以并入到最大的连续子序列和中。

理解到这一点，这题的代码就不难写出：

class Solution {
public:
    int maxSubarraySumCircular(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();
        vector<int> fMin(nums),fMax(nums);
        int sum=nums[0];
        for(int i=1;i<n;i++){
            fMin[i]=min(fMin[i],fMin[i]+fMin[i-1]);
            fMax[i]=max(fMax[i],fMax[i]+fMax[i-1]);
            sum+=nums[i];
        }
        int maxV=*max_element(fMax.begin(),fMax.end());
        int minV=*min_element(fMin.begin(),fMin.end());
 
        return max(maxV,sum-minV==0?maxV:sum-minV);
    }
};

152.乘积最大子数组

本题要求我们求给定数组的最大连续子序列的积。

此题的想法与918有相似之处：都需要维护两个数组fMax和fMin，其中一个是最大子序列积，一个是最小子序列积。其中最小子序列积一定是负的。因为这个题中有负数的存在，其不满足动态规划问题要求的最优子结构问题，举个例子：

例如【-2，3，-4】中，-4的最优解不是3*（-4），而是（-2）3（-4），所以我们需要分正负来讨论，多维护一个数组fMin，用来记录乘积的最小值（通常为负），当当前数字为负值时，可以调用fMin中记录的值来获得结果。

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) {
        vector<int> fMax(nums),fMin(nums);
        for(int i=1;i<nums.size();i++){
            fMax[i]=max(fMax[i],max(fMax[i]*fMax[i-1],fMax[i]*fMin[i-1]));
            fMin[i]=min(fMin[i],min(fMin[i]*fMin[i-1],fMin[i]*fMax[i-1]));
        }
        int ans=*max_element(fMax.begin(),fMax.end());
        return ans;
    }
};