Tauber 定理及其证明

这里写的只是最常见最普通的 Tauber 定理，写这个纯粹是因为常庚哲，史济怀书上的那个证明（定理 10.17）太不符合审美了。

（Tauber）若 $\lim_{r \to 1^{-}} \sum c_n r^n = \sigma$ 且 $c_n = o(\frac{1}{n}) \,, $ 则 $\sum c_n = \sigma \,.$

 

分析：想法就是令 $r = 1 - \frac{1}{N} \,.$ 作估计 \[ \left| \sum_{n=1}^N c_n - \sum_{n=1}^N c_n r^n \right| \leq \sum_{n=1}^N |c_n| (1- (1-\frac{1}{N})^n) \leq \sum_{n=1}^N |c_n| \frac{n}{N} \,, \] 以及 \[ \left|\sum_{n=1}^{\infty} c_n r^n - \sum_{n=1}^N c_n r^n \right| \leq \sum_{n>N} |c_n| (1-\frac{1}{N})^n \leq \sum_{n>N} \frac{n c_n}{N} (1-\frac{1}{N})^n \leq \sum_{n>N} \frac{\epsilon}{N} (1-\frac{1}{N})^n = \epsilon (1-\frac{1}{N})^{N+1}  \,. \] 由 $n c_n \to 0$ 不难得知其前 $N$ 项和的算术平均也趋于零，而 $(1-\frac{1}{N})^{N+1} \to e^{-1} \,.$ 综合这两个估计，命题得证。