可测映射和可测函数

考虑 $f$ 是 $(\mathbb{R},\mathcal{B})$ 到自身的可测映射，记 $n(y)$ 为 $f(x)=y$ 的根的个数，证明 $n(y)$ 是 $\mathcal{B}$ 可测的.

分析：考虑

\[D=\mathbb{R}\times\big(\mathbb{R}^d \backslash \bigcup_{i\ne j} \{ (x_1,x_2,\dots,x_d):x_i = x_j \}\big)\]

是 $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^d$ 中的 $\mathcal{B}\otimes\mathcal{B}^{\otimes d}$ 可测集，则

\[G = \bigcap_{i=1}^{d}\{ (y,x_1,x_2,\dots,x_d):f(x_i)=y\}\cap D\]

也是 $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^d$ 中的 $\mathcal{B}\otimes\mathcal{B}^{\otimes d}$ 可测集.

记 $G_y$ 为 $G$ 的 $y$ 截口，由可测射影定理，$G$ 向第一个分量的投影

\[\text{Proj}(G)=\{ y\in \mathbb{R}:G_y \ne \emptyset \}=\{y\in\mathbb{R}:n(y)\geq d\}\]

是 $\mathcal{B}$ 可测的，从而 $n(y)$ 是 $\mathcal{B}$ 可测函数.

 

需要注意的是，若 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的 $\mathcal{L}$ 可测函数，则该命题存在反例.

考虑取 $E\subset\mathbb{R}$ 为 $\mathcal{L}$ 不可测集，并建立 $\phi:E\to \mathcal{C}$ 的单射，其中 $\mathcal{C}$ 为 Cantor 集.

定义 $f(x)= 1_{\phi(E)}(x) \phi^{-1}(x)$，则 $f$ 只在一个可略集上非零，由 $\mathcal{L}$ 的完备性，知其是 $\mathcal{L}$ 可测函数.

不妨设 $0 \notin \phi(E)$, 则 $\{y\in\mathbb{R}:n(y)=1\}=E \notin \mathcal{L}$，也即 $n(y)$ 不是 $\mathcal{L}$ 可测函数.

 

为什么会这样呢？其实本质就是 $\mathcal{L}$ 可测函数作为可测映射而言，定义域和陪域可测结构的不对称性导致的。而且你会发现任何想修补这种对称性的举动——无论是你想扩大陪域的可测结构，还是想缩小定义域的可测结构——都是在扩大所考虑的函数类。另一方面，如果是 $\mathcal{B}$ 可测映射，当你把 Baire 函数变为连续函数或是半连续函数时，都是在缩小函数类。具体到证明过程中的失效，只需要注意到当 $f$ 只是一个 $\mathcal{L}$ 可测函数时，

\[g_i (y,x_1,x_2,\dots ,x_d)=y-f(x_i)\]

未必是一个 $\mathcal{L}\otimes \mathcal{B}^{\otimes d}$ 可测函数，从而无法得出 $G$ 是 $\mathcal{L}\otimes \mathcal{B}^{\otimes d}$ 可测集，因此无法使用可测射影定理。

注记：关于可测射影定理，可以参考 Suslin 集理论与 [CV] 这本书的第三章.