关于A*估价函数的总结

估价函数的优劣决定一个A*算法的好坏

 

360百科上是这样说的：

（https://baike.so.com/doc/6223470-6436780.html）

 

关于估价函数h(n)与实际距离d(n)的大小关系导致的搜索范围的不同，一些同学表示不理解

这里给出一个不是很严谨的证明：

 

首先，d(n)+g(n)即为当前路径到目标状态的总距离，

而我们在估价后，认为这条路径的总距离为h(n)+g(n)

 

以第一种情况（h(n)<d(n)）为例　　八数码

在八数码中的估价中，我们发现一次操作最多使两个元素接近于目标状态，

所以把每个数字距离目标的状态的曼哈顿距离之和除以二，这样是一个最理想的距离，

也就是说，h(n)<d(n)。

而每次取出队首元素，向下扩展，我们可以想到，

随着深度的增大，该路径的g(n)+h(n)会越来越大，一直趋向g(n)+d(n)

所以当这个值比其他路径的估价大时，就不会再继续搜这条路径了

可以理解为，深度越大，一条路径的优势越小，从而搜到的范围比较大

为什么一定能搜出最优解：

最优解的g(n)+d(n)<非最优解的g(n)+d(n)，而h(n)<d(n)，

因此，不会存在一种情况，使最优解的g(n)+h(n)>非最优解的g(n)+d(n)

而随着深度的增大，每个路径g(n)+h(n)都是会趋向g(n)+d(n)的

在一个非最优解的路径中，随着深度增大，

在搜到目标之前，一定会在某一层出现都比最优解估价大的情况

 而最终先搜到目标的，就是最优解。