复习随笔

复习

配合yizimi的板子库食用效果更佳。

前言

高中过后一直没有复习，大一要打天梯赛时才想起来复习。这个是个人的算法复习过程，尽量按照顺序进行复习，主要顺序是按照我自己的板子库的顺序复习。也算是对板子库的一个解释吧。

一、数论

1.快速幂

主要的思路就是分治，当幂数过大时，一般采用幂数2进制寻找幂数底数相乘。时间复杂度\(O(logn)\)

2.欧拉函数

欧拉函数\(\varphi(x)\) 返回的是小于x的自然数中与x互质的数的个数，我们有：

\[\varphi(x) = x * \prod_{i = 1}^{n} (1 - p_i) \]

一般利用费马小定理用于求逆元。

3.乘法逆元（线性求逆）

线性求逆的推导：

设\(i\)在模\(p\)意义下的逆元为\(inv[i]\)，设 \(k *i + r = p\), 所以 \(k* i + r \equiv 0 (mod \ p)\)，移项得 \(k *i \equiv -r (mod \ p)\) ，则 \(\frac{1}{i} \equiv -\frac{k}{r} (mod\ p)\) ，则 \(\frac{1}{i}\)为\(inv[i]\) ，即 \(inv[i] \equiv k - k* inv[r] (mod\ p)\) ，因为\(r < i\) 所以可以递推。

4.线性筛素数

（1）埃式筛法

不是理论上的\(O(n)\)，时间复杂度是\(O(nloglogn)\)，因为\(\lim_{n \to \infty}loglogn = c\) 而且其常数较小，写起来思路较简单，故仍被广泛利用。主要思路是排除合数，未被标记的数即为素数

（2）欧拉筛法

理论上真正的\(O(n)\)算法，是从欧拉筛法的基础上只被它的最小质因子筛选一次，避免筛选重复。

5.扩展欧几里得

证明：
假设有$$ax_1 + by_1 = gcd(a, b)$$成立，则由欧几里得算法得：$$gcd(a, b) = gcd(b, a\ mod\ b)$$又有：$$bx_2 + (a\ mod\ b)y_2 = gcd(b, a\ mod\ b)$$则合并等式得：$$ax_1 + by_1 = bx_2 + (a\ mod\ b)y_2$$

\[a\ mod\ b = a - \lfloor a/b \rfloor*b \]

\[ax_1 + by_1 = ay_2 + b*(x_2-\lfloor a/b \rfloor)y_2 \]

最后有

\[x_1 = y_2 \\ y_2 = x_2 - \lfloor a/b \rfloor y_2 \]

因为\(gcd(a, 0) = a\)，即在$ b=0$ 时有 \(x = 1, y = 0\)
然后回推即可。

6.单个数求逆元

在同余的情况下，相除x和相乘x的逆元是等价的。当然，同余是不可能去除一个数x，我们就去乘其逆元。一般运用费马小定理，或线性求逆，或扩展欧几里得算法来计算。

7.矩阵加速

利用矩阵乘法的特性和其矩阵快速幂的特性来加速递推式的递推，不过要求线性递推，可以将\(O(n)\)优化成\(O(logn)\)

8.整除分块

很少用到这个知识，就是当进行整除的时候，总有一个区间整除一个数的时候答案相同，也包括根号等计算，可以用此信息来缩小计算时间。

9.博弈论

大坑未填，只会一个计算方法，不知道原理

二、图论

1.并查集

并查集通过记录父亲节点来确定两个数字是否在一个集合，可以通过链表的方法，记录的父亲关系更全面，或者用路径压缩，更快的确定二者所在的集合是否相同。时间复杂度一般为\(O(\alpha(n))\)。对于合并，可以采用放在小子树的方法来缩短树高，也可以用随机合并的玄学方法来进行合并，不会被卡。毕竟你也不知道会怎么合并

2.Kruskal算法（克鲁斯卡尔算法， 最小生成树算法）

主要思想是贪心算法，可以将每一条边按长度进行排序，然后采用并查集来查询和合并贪心的找最短的长度的边进行合并，注意不能连接已经在一个集合中的点了。
理论时间复杂度为\(O(mlogm)\)

3.Dijkstra算法（单源最短路算法）

主要使用DP思想。主要的思路是松弛操作，也就是

\[dis[v] = dis[x] + w \]

我们每次寻找最短的dis[x]进行更新，可以运用优先队列优化，时间复杂度\(O(nlogn)\)，也可以用线段树维护最短的点，时间复杂度相同，就是空间占的较大。

4.SPFA算法（单源最短路径算法）

传说中已经死了的算法，但是SPFA还是有很大的用途，来源于Bullman Ford算法，就是每次更新松弛一个距离，就将这个距离放入队列，然后以便通过这个点松弛其他的点。时间复杂度\(O(me)\)（实际是\(O(玄学)\)）

SPFA用于求负环，网络最大流，最小费用最大流等等，所以人们仍然没有放弃使用这个算法。

5.Floyd算法（多源最短路径）

通过枚举第一个点，第二个点，和其中经过的第三个点，将每两个点的最短路径松弛出来，时间复杂度\(O(n^3)\)

6.二分图染色

二分图染色是一种用来判断给定图是否为二分图的方法，在图上不停的BFS或DFS，并进行染色，保证相邻两点颜色一定不同。

一般会结合DP进行考察，一般结合DAG上的推论来考察。

本部分参考关于二分图染色的几点总结

7.拓扑排序

采用BFS的方法，将节点按照BFS的顺序排序，并可同时进行出度和入度的计算。

8.tarjan求强联通分量

在有向图中，强联通指两个节点可以互通，若一个图中的所有点都可互通，那么这个图叫做强联通图。我们在一个有向图中，寻找极大的强联通子图的大小就是强联通分量。

tarjan基于DFS，其中用\(dfn[i]\)来作为时间戳（被搜到的次序），一旦某个点被DFS到，这个时间戳就不再改变，而\(low[i]\)指在该子树中，且仍在栈里的最小时间戳，像是确立了一个关系，\(low[i]\)相同的点在同一个强联通分量中。

首先从每个没有记时间戳的点开始DFS，我们根据\(1 - N\)的顺序来进行，所以我们回溯的时候\(low[]\)记录路径上最小的时间戳，来确定强联通分量。

时间复杂度\(O(n)\)

9.树分治

（1）点分治

点分治是处理树上路径的工具，点分治的精髓是将一颗树拆分成许多棵子树处理，并不断进行。

我们分治的方法是从树的重心开始分（这样的话时间复杂度会降低到\(O(logn)\)）

求解树的重心的方法：
更新\(sze[i]\)表示以i为根节点的子树的节点数量（即子树大小），\(maxp[i]\)表示i节点为根的子树中的最大子树，在DFS中的回溯中进行DP，求maxp的时候需要用到容斥原理

先对当前的节点进行更新答案，然后进行分治下方节点答案，此中用容斥定理来除去不合理的答案，……

（挖坑待填）