动态规划：DP从入门到破门而出（入门必刷例题）
有时间就会更新QwQ
例题难度随更新时间可能增大
例题顺序按照更新时间排序的哦QuQ
特别鸣谢 长江东逝水 对本Blog的建议与指正！
目录：
1.区间DP
例题1：P2858 奶牛零食
例题2：P3146 [USACO16OPEN]248 / P3147 [USACO16OPEN]262144
例题3：P3205 [HNOI2010]合唱队
例题4：P4170 [CQOI2007]涂色
例题5：P1880 [NOI1995]石子合并
2.前缀DP
例题1：P3628 【APIO2010】特别行动队（ O(n ^ 2) ）
例题2：P1944 最长括号匹配
例题3：P1020 导弹拦截（最长上升子序列）
3.背包DP
例题1：P1048 采药（01背包）
例题2：P1616 疯狂的采药（完全背包）
例题3：P1064 金明的预算方案（带附件的01背包）
例题4：P5020 货币系统
4.树形DP
例题1：P2015 二叉苹果树
例题2：P1352 没有上司的舞会
例题3：P2016 战略游戏
例题4：UVA1218 完美的服务 Perfect Service
5.状压DP
例题1：P1896 [SCOI2005]互不侵犯
例题2：P1879 [USACO06NOV]玉米田Corn Fields
例题3：P2704 [NOI2001]炮兵阵地
6.斜率优化DP
例题1：P3628 【APIO2010】特别行动队（ O(n) ）
1.区间DP
例题1：P2858 奶牛零食
约翰经常给产奶量高的奶牛发特殊津贴，于是很快奶牛们拥有了大笔不知该怎么花的钱．为此，约翰购置了N(1≤N≤2000)份美味的零食来卖给奶牛们．每天约翰售出一份零食．当然约翰希望这些零食全部售出后能得到最大的收益．这些零食有以下这些有趣的特性：
•零食按照1．．N编号，它们被排成一列放在一个很长的盒子里．盒子的两端都有开口，约翰每
天可以从盒子的任一端取出最外面的一个．
•与美酒与好吃的奶酪相似，这些零食储存得越久就越好吃．当然，这样约翰就可以把它们卖出更高的价钱．
•每份零食的初始价值不一定相同．约翰进货时，第i份零食的初始价值为Vi(1≤Vi≤1000)．
•第i份零食如果在被买进后的第a天出售，则它的售价是vi×a．
Vi的是从盒子顶端往下的第i份零食的初始价值．约翰告诉了你所有零食的初始价值，并希望你能帮他计算一下，在这些零食全被卖出后，他最多能得到多少钱．
思路：
首先想到这是一道区间DP，我们设dp[i][j]为从第i个到第j个零食最多可以买多少钱。不难想到我们可以在一个状态下左面或右面补充，则可得：
dp[i][j] = max(dp[i + 1][j] + b[i] * a, dp[i][j - 1] + b[j] * a)
其中a是指题目中所说的，我们可以在枚举区间长度时算出来：
a = n - L + 1
不过要注意，初始化时，每一个物品最后买出去的时候都是这个物品的价格 * n（根据题意）
例题2：P3146 [USACO16OPEN]248 / P3147 [USACO16OPEN]262144
Bessie喜欢在手机上下游戏玩（……），然而她蹄子太大，很难在小小的手机屏幕上面操作。
她被她最近玩的一款游戏迷住了，游戏一开始有n个正整数，(2<=n<=248 / 262144)，范围在1-40。在一步中，贝西可以选相邻的两个相同的数，然后合并成一个比原来的大一的数（例如两个7合并成一个8)，目标是使得最大的数最大，请帮助Bessie来求最大值。
这两道题是几乎一样的题，但是数据范围不一样。
思路1：
我们设计dp[i][j]为从i到j可以合成的最大的数。
考虑小区间合成大区间，dp[i][k] && dp[k + 1][j] -> dp[i][j]
如果这两个区间可以合成的最大值相等，那么说明我们可以把这两个小区间合成一个大区间，即：
if(dp[i][k] == dp[k + 1][j])
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + 1);
如果不能合成，就直接不修改。
时间复杂度O(n^3)
思路2：
貌似O(n^3)不能过第二道题……
我们考虑前缀DP的想法。我们设计dp[i][j]以j为左端点合成i的右端点位置
我们要注意这里i最大就是60，j最大就是n，所有空间没有问题。
我们要求dp[i][j]时，我们可以先求dp[i - 1][j]，得到取i - 1的右端点，然后再取一个右端点，这两个区间合并就是i了，即：
dp[i][j] = dp[i - 1][dp[i - 1][j]];
我们只需要枚举i和j就好了，时间复杂度O(60n)。
例题3：P3205 [HNOI2010]合唱队
题目描述
为了在即将到来的晚会上有更好的演出效果，作为AAA合唱队负责人的小A需要将合唱队的人根据他们的身高排出一个队形。假定合唱队一共N个人，第i个人的身高为Hi米(1000<=Hi<=2000),并已知任何两个人的身高都不同。假定最终排出的队形是A 个人站成一排，为了简化问题，小A想出了如下排队的方式：他让所有的人先按任意顺序站成一个初始队形，然后从左到右按以下原则依次将每个人插入最终棑排出的队形中：
-第一个人直接插入空的当前队形中。
-对从第二个人开始的每个人，如果他比前面那个人高(H较大)，那么将他插入当前队形的最右边。如果他比前面那个人矮(H较小)，那么将他插入当前队形的最左边。
当N个人全部插入当前队形后便获得最终排出的队形。
例如，有6个人站成一个初始队形，身高依次为1850、1900、1700、1650、1800和1750,
那么小A会按以下步骤获得最终排出的队形：
1850
1850 , 1900 因为 1900 > 1850
1700, 1850, 1900 因为 1700 < 1900
1650 . 1700, 1850, 1900 因为 1650 < 1700
1650 , 1700, 1850, 1900, 1800 因为 1800 > 1650
1750， 1650, 1700，1850, 1900, 1800 因为 1750 < 1800
因此，最终排出的队形是 1750，1650，1700，1850, 1900，1800
小A心中有一个理想队形，他想知道多少种初始队形可以获得理想的队形
数据范围：n <= 1000，主要取模19650827（不是那个十分常见的大质数
思路：
类似奶牛奶酪零食的思路差不多，都是两边补数的思想
我们设计dp1[i][j]为形成区间[i, j]，且最后一个进入这个区间的数是i的方案数，dp2[i][j]为形成区间[i, j]，且最后一个进入这个区间的数是j的方案数。
对于dp1[i][j]，我们发现：
作为左端点的数只与下一个和右端点有关，即：
如果a[i] < a[i + 1]，则
dp1[i][j] += dp2[i + 1][j];
如果a[i] < a[j]，则
dp1[i][j] += dp1[i + 1][j];
相同的，对于dp2[i][j]，我们一样可以得知：
作为右端点的数只与左端点和前一个有关，即：
如果a[j] > a[j - 1]，则
dp2[i][j] += dp2[i][j - 1];
如果a[j] > a[i]，则
dp2[i][j] += dp1[i][j - 1];
例题4：P4170 [CQOI2007]涂色
假设你有一条长度为5的木版，初始时没有涂过任何颜色。你希望把它的5个单位长度分别涂上红、绿、蓝、绿、红色，用一个长度为5的字符串表示这个目标：RGBGR。
每次你可以把一段连续的木版涂成一个给定的颜色，后涂的颜色覆盖先涂的颜色。例如第一次把木版涂成RRRRR，第二次涂成RGGGR，第三次涂成RGBGR，达到目标。
用尽量少的涂色次数达到目标。
数据范围：100%的数据满足：1<=n<=50
思路：
我们可以考虑设计dp[i][j]区间[i, j]需要的最少操作次数，我们可以通过枚举断点的方式考虑。
我们只需向奶牛零食那样，补左端点右端点就好了。
对于dp[i][j]：
如果ch[i] == ch[j]，说明我们可以直接先修改i ~ j，所以我们直接合并i ~ j - 1与j或是i 与 i + 1 ~ j，即
if(ch[i] == ch[j])
dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);
如果ch[i] != ch[j]，说明我们不能直接更新，我们再枚举i ~ j的一个k，寻找一个合并答案的最小值，即：
if(ch[i] != ch[j])
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j]);
时间复杂度O(n^3)，稳过50
例题5：P1880 [NOI1995]石子合并
在一个圆形操场的四周摆放N堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。
试设计出1个算法,计算出将N堆石子合并成1堆的最小得分和最大得分.
主要思路：
我们设计dp_min[i][j]为区间[i, j]的最小得分，dp_max[i][j]为区间[i, j]的最大得分。
我们可以先维护一个前缀和，便于直接求区间和。
然后，对于dp_min[i][j]，每一个k∈(i, j]，我们可以从k处端点，然后合并dp_min[i][k]和dp_min[k + 1][j]，即
dp_min[i][j] = min(dp_min[i][j], dp_min[i][k] + dp_min[k + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]);
对于dp_max[i][j]也一样，即
dp_max[i][j] = max(dp_max[i][j], dp_max[i][k] + dp_max[k + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]);
最后寻找最大值即可。
（尽管都说这是区间DP的入门题，但我觉得入门时做这道题不算是最简单的）
时间复杂度：O(n^3)
2.前缀DP
例题1：P3628【APIO2010】特别行动队
给一个长度为\(n\)的序列A[]，分成若干段，每分成一段，其代价是\(ax^2 + bx + c\)，\(x\)为这一段的和，问分割最大的代价是多少？
（暂不考虑优化）要求：\(O(n^2)\)
思路：
设\(dp[i]\)为分到第\(i\)个数时，其最大代价是多少。
我们可以枚举上一段分开的位置，即分\([1, i]\)为\([1, k],[k + 1, i]\)两段。
其整段的和可用前缀和维护。
转移方程：
dp[i] = max{dp[j] + a*(s[i]-s[j])*(s[i]-s[j]) + b*(s[i]-s[j]) + c}
例题2：P1944 最长括号匹配
对一个由(,),[,]括号组成的字符串，求出其中最长的括号匹配子串。具体来说，满足如下条件的字符串成为括号匹配的字符串：
1.(),[]是括号匹配的字符串。
2.若A是括号匹配的串，则(A),[A]是括号匹配的字符串。
3.若A,B是括号匹配的字符串，则AB也是括号匹配的字符串。
例如：(),[],([]),()()都是括号匹配的字符串，而](则不是。
字符串A的子串是指由A中连续若干个字符组成的字符串。
例如，A,B,C,ABC,CAB,ABCABCd都是ABCABC的子串。空串是任何字符串的子串。
数据范围：对100%的数据，字符串长度<=1000000.
思路：
我们可以设计dp[i]为到i时的最长括号匹配长度。
那我们可以得到，ch[i - dp[i]]就是以i为最右端点的最长括号匹配的左端点，我们只需要判断以i - 1为右端点的最长括号匹配的左端点的前一个字符是不是和第i个括号匹配就是了，如果是，就更新答案。即：
if((ch[i - 1 - dp[i - 1]] == '(' && ch[i] == ')') || (ch[i - 1 - dp[i - 1]] == '[' && ch[i] == ']')) {
dp[i] = dp[i - 1] + 2 + dp[i - 2 - dp[i - 1]];
如果是左括号的话，就直接continue掉好啦。
时间复杂度O(n)
例题3：P1020 导弹拦截
某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。
输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是 \le 50000≤50000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。
数据范围：
子问题1：n <= 1000
子问题2：n <= 100000
思路：
首先第一个问题，其实就是求最长不上升序列。
我们设计 dp[i] 为从 1 到 i 且其最长不上升序列以 i 为结尾的序列长度。那么我们可以从比当颗导弹高或相等的导弹中更新答案。即为：
dp[i] = max{dp[v]} + 1 (a[v] >= a[i] && v <= i)
这里时间复杂度为O(n^2)。
对于第二个问题，我们可以想到，假如我们先用一个拦截设施把所有能打下来的导弹都打下来，剩下的拦截设施重复这个动作，一直到所有导弹被拦截。假设我们得到的是最小划分（题目要求）的k组导弹。那么对于第 i 组导弹中任取，在第 i + 1 必定有一个导弹要比这颗导弹高，如果没有，那么我们完全可以把 i + 1 组合并到第 i 组。所以我们找到一个最长的一个上升子序列，肯定序列中的每个导弹对应组导弹，如果多出的话肯定是多余的，如果少的话，不符合上述的分组。所以我们在找最小划分时，只需要找到一个最长上升子序列长度即可。
我们重新设计 dp[i] 为从 1 到 i 且其最长上升子序列以 i 为结尾的序列长度。同上，我们可以得到：
dp[i] = max{dp[v]} + 1 (a[v] < a[i] && v <= i)
时间复杂度也为O(n^2)
对于优化：(两问通用)
我们可以发现有一维是用来求 dp[] 中满足条件的最大值。我们可以考虑用线段树来优化。我们以 a[i] （就是高度）为坐标，在线段树中维护 f[i] 的最大值。我们在进行有规律的遍历时，每当更新一次 f[i] 我们就将他在线段树中更新，在寻找最大值时，我们按照大小，在相应区间（比如求最长上升子序列中，我们要从高度小于 a[i] 的 f[v] 中转移，所以我们询问 [1, a[i] - 1] 区间的信息）询问，并进行转移即可。
时间复杂度为O(nlogn)
3.背包DP
例题1：P1048 采药（01背包）
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
数据范围：M <= 100
思路：
其实数据范围还是很水的了。这是一道简单的01背包问题。
我们设计dp[i][j]为选到第i个时，容量用了j以后所得到的最大值。我们设v[i]为第i个物品的价值，w[i]为第i个物品的重量/体积。
对于dp[i][j]，我们可以由选到第i - 1个，用了j - w[i]的容量的最大值来更新（也就是说为新填进去的物品腾空）我们不难推出：
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
这里注意一下边界，在枚举容量时，是从w[i] ~ m的，也就是说本来就没用w[i]，不可能多腾出w[i]的空间。
扩展：
要求空间限制O(n)？
我们可以尝试着滚动一维。我们可以发现i这一维只有i - 1和i，我们可以考虑把这一维滚动掉（因为之前的状态只会用于下一层循环），如：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
但是，我们想到，如果是正向循环的话，会使得同一层循环后面的操作直接使用当层得出的答案，也就是变成了从dp[i][j - w[i]]到dp[i][j]了，这样显然是不对的。
为了避免这一问题，我们可以把第二层循环反向一下，即：
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = m; j >= w[i]; --j)
dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
其实正向循环也有其意义，下一题会讲。
例题2：P1616 疯狂的采药（完全背包）
LiYuxiang是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是LiYuxiang，你能完成这个任务吗？
每种草药可以无限制地疯狂采摘。
思路：
和上一个题差不多啊，就是每种物品有无限个。这里我们从上一题所说的讲起。我们想一想，如果例题1中的优化解法用正向的话，我们可以把使得dp[i][j - w[i]]转移到dp[i][j]，也就是可以重复选很多次了。这样，我们就可以使得重复这个问题得以解决了，即：
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = w[i]; j <= m; ++j) // 变化的位置
dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
例题3：P1064 金明的预算方案（带附件的01背包）
金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：
主件 附件
电脑 打印机，扫描仪
书柜 图书
书桌 台灯，文具
工作椅 无
如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有0个、1个或2个附件。附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为55等：用整数1-5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是10元的整数倍）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
设第jj件物品的价格为v_[j]，重要度为w_[j]，共选中了kk件物品，编号依次为j_1,j_2,…,j_k，则所求的总和为：
v[j1]×w[j1]+v[j2]×w[j2]+…+v[jk]×w[jk]。
请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。
思路1：
我们可以分类讨论，分主附件各种讨论，剩下的和普通01背包DP没啥区别。这里不详讲了，因为思路太乱了。
思路2：
我们可以考虑把这些物品连成树。一个节点的父亲就是这个物品所依赖的物品，儿子节点就是依赖这个物品的物品。
这样我们就可以进行树形DP了，说白了就是在dfs的每个状态下跑一边01背包，就是说这里的物品不是枚举每个物品，而是枚举子节点的物品罢了。
在每个dfs最后都要把当前修改过的dp值都要加上当前的价值。
dfs的代码：
inline void dfs(int x) {
go(i, 0, s[x], 1) f[x][i] = 0;
rep(i, x) {
int v = e[i].v;
dfs(v);
fo(j, n, s[v], 1)
fo(k, j, s[v], 1)
f[x][j] = max(f[x][j], f[x][j - k] + f[v][k]);
}
if(x != 0)
fo(i, n, s[x], 1)
f[x][i] = f[x][i - s[x]] + s[x] * z[x];
}
例题4：P5020 货币系统
在网友的国度中共有 n 种不同面额的货币，第 i 种货币的面额为 a[i]，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为 n、面额数组为a[1..n] 的货币系统记作(n,a)。
在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 x 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 xx，都存在 n 个非负整数 t[i] 满足a[i]×t[i] 的和为 x。然而， 在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 xx 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 n=3, a=[2,5,9] 中，金额 1,3 就无法被表示出来。
两个货币系统 (n,a) 和 (m,b) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 x，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。
现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 (m,b)，满足 (m,b) 与原来的货币系统 (n,a) 等价，且 m 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 m。
思路1：完全背包
也是一个所有的可以排出来的都枚举出来罢了，我们做n次完全背包，然后把可以得到的最大答案的数消去就好啦。（如果这几个数中有一个或几个可以用其他的数字得到，我们就可以消去这个数，让总数-1）
要记得排序，要不可能会出现一些问题。
思路2：判重
我们可以单用完全背包的思想来做就好。我们做模拟就好了。开一个较大的数组，相应的位置i表示是否可以表示i。即（也需要排序）：
m = 2500 + a[n]; // 最大的判重范围
ff[0] = 1;
go(i, 0, m, 1) {
if(ff[i]) {
go(j, 1, n, 1) {
ff[i + a[j]] = 1;
if(f[i + a[j]] && i + a[j] != a[j]) {
f[i + a[j]] = 0;
ans--;
}
}
}
}
4.树形DP
例题1：P2015 二叉苹果树
有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分2叉（就是说没有只有1个儿子的结点）
这棵树共有N个结点（叶子点或者树枝分叉点），编号为1-N,树根编号一定是1。
我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有4个树枝的树
2 5
\ /
3 4
\ /
1
现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。
给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。
数据范围：n <= 100
思路：
首先设计f[i][j]为以i为根的子树中保留j个边的最大权值和。
我们枚举j是这个子树中所保留的所有的边数。枚举一个k，代表有k条边是其中一棵子树保留的边数，那么j - k - 1就是剩下保留的边数。
所以我们在树上做DFS，从叶节点到根节点进行状态转移。
inline void dfs(int x, int f) {
rep(i, x) {
int v = e[i].v, w = e[i].w;
if(v == f) continue;
dfs(v, x);
b[x] += b[v] + 1;
fo(j, min(q, b[x]), 1, 1) {
fo(k, min(b[v], j - 1), 0, 1) {
dp[x][j] = max(dp[x][j], dp[x][j - k - 1] + dp[v][k] + e[i].w);
}
}
}
}
其中b[i]为以i为根的子树中的总边数。
例题2：P1352 没有上司的舞会
某大学有N个职员，编号为1~N。他们之间有从属关系，也就是说他们的关系就像一棵以校长为根的树，父结点就是子结点的直接上司。现在有个周年庆宴会，宴会每邀请来一个职员都会增加一定的快乐指数Ri，但是呢，如果某个职员的上司来参加舞会了，那么这个职员就无论如何也不肯来参加舞会了。所以，请你编程计算，邀请哪些职员可以使快乐指数最大，求最大的快乐指数。
数据范围：N <= 6000
思路
我们可以抽象的把每个职工和他的上司连一条边，这样一定可以成为一棵树。既然上司和下属不能同时来，那么问题就转化成了树的最大独立集问题。
我们设 dp[i][0/1] 为第 i 个职员来/不来时其子树的最大答案。
那么 dp[i][0] 可以有两种情况，一是他的下属不来，二是他的下属来了。我们取 max ，则：
dp[i][0] = sum{max(dp[v][0], dp[v][1])} （v ∈ S）
dp[i][1] 就只能是他的下属没有来时他才能来，则
dp[i][1] = sum{dp[v][0]} + happy[i] （v ∈ S）
例题3：P2016 战略游戏
Bob喜欢玩电脑游戏，特别是战略游戏。但是他经常无法找到快速玩过游戏的办法。现在他有个问题。
他要建立一个古城堡，城堡中的路形成一棵树。他要在这棵树的结点上放置最少数目的士兵，使得这些士兵能了望到所有的路。
注意，某个士兵在一个结点上时，与该结点相连的所有边将都可以被了望到。
请你编一程序，给定一树，帮Bob计算出他需要放置最少的士兵.
数据范围：n <= 1500
思路
一个裸的最大独立集问题，我们设 dp[i][0/1] 为选/不选这个点放士兵其子树最少需要的士兵数
那么当这个点不放士兵时，其儿子节点必定要放，则：
dp[i][0] = sum{f[v][1]} (v ∈ S)
当这个点放士兵时，其他节点可放可不放，我们取最小的就好，则：
dp[i][1] = sum{min(f[v][1], f[v][0])} (v ∈ S)
这个DP在树上做DFS即可
例题4：UVA1218 完美的服务 Perfect Service
一个网络中有N个节点，由N−1条边连通，每个节点是服务器或者客户端。如果节点u是客户端，就意味着u所连接的所有点中有且仅有一台服务器。求最少要多少台服务器才能满足要求。
数据范围：n <= 10000
思路
我们把这棵树想象成一棵有根树（对答案无影响），那么我们每一节点都可能有三种情况：
- 这个节点有服务器
- 这个节点没有服务器，但是这个节点的父节点有
- 这个节点和其父亲都没有服务器
那么我们把这三种情况分别对应 dp[x][0 / 1 / 2]
-
dp[x][0]：当这个节点有服务器时，他的子节点可以有，也可以没有，也就是说：
dp[x][0] = sum{min(dp[v][0], dp[v][1])} + 1; (v ∈ S) -
dp[x][1]：当这个节点没有服务器且其父亲节点有服务器时，他的子节点就不能有服务器，这个时候其父节点没有，故：
dp[x][1] = sum{dp[v][2]} -
dp[x][2]：当这个节点父节点和本身没有服务器的话，那么它的子节点必定有且只有一个点是服务器，所以我们只能是其他的节点是客户端，剩下的一个子节点是服务器，也就是：
dp[x][2] = min{sum{dp[v][2]}(v ∈ S && v != k)} + dp[k][0] (k ∈ S)我们发现这个式子可以简化，我们可以借用 dp[x][1] 来更新 dp[x][2] ，即为
dp[x][2] = min{dp[x][1] - dp[v][2] + dp[v][0]} (v ∈ S)
5.状压DP
例题1：P1896 [SCOI2005]互不侵犯
在N×N的棋盘里面放K个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。
数据范围：n <= 10, K <= n * n
思路：
我们首先发现搜索是不太可能的，毕竟这个 n 有点大。我们可以考虑状压。
首先我们可以考虑如何排除不正确的情况。首先我们发现无论行与行之间怎样，在每一行中都只有那么几种状态才能保证在单行才能正确，比如：
011000 (一定是错的)
001001 (可能是对的，但需要在具体的行中作进一步判断)
这样我们可以先把每行的各种可能情况枚举出来，如果一定是错的就排除，如果可能是对的，那么说明在每行都有可能是这些情况，我们先记录下来，以便判断行与行之间的判断，顺便把每种情况用到的国王数记录下来。
然后我们可以可以设计 f[i][j][k] 为前 i 行，状态是 s[j] （这里的s[j]是指我们枚举到的合法的第 j 种单行的情况）时已经放了 k 个的情况数，我们可以首先枚举 i 行，然后枚举 s[j]，然后枚举 k 个可能转移过来的数量，再枚举第 i - 1 行的情况为 s[t]，假如我们判定：
!(s[t] & s[j]) && !(s[t] & (s[j] << 1)) && !(s[t] & (s[j] >> 1))
也就是说第 i - 1 行中，没有国王在第 i 行的这个 s[j] 情况下的三个可能互相攻击的位置上，则：
f[i][j][k] += f[i - 1][t][k - num[j]]
其中 num[j] 为第 j 个状态样用到的国王数。
最后把所有 f[n][i][K] 统计一下就好了。
P.S.：如果你是从信息学奥赛一本通提高版过来的话，记住：书上的样例有一个是错的：(以下的是对的)
input:
4 4
output:
79
例题2：P1879 [USACO06NOV]玉米田Corn Fields
n * m 个方格组成的土地，给出可以选择种草的格子，要求选出的格子不能相邻，问有多少选择方案（不选任何一个也行）
思路
经典的状压DP，很明显我们可以用二进制来表示状态。我们可以先和上一个题一样，先判断各行（这次需要每行判一次）的合法状态，然后判断行与行之间的合法关系。
我们设 f[i][j] 为前 i 行第 i 行状态为 j 时的方案数。我们不难发现，假如枚举上一行（ i - 1 ）的状态，假如可以到 j 这个状态，那么：
f[i][j] = sum{f[i - 1][k]} (k ∈ S && !(k & j))
例题3：P2704 [NOI2001]炮兵阵地
n * m 个方格组成的土地，给出可以选择放置炮兵的格子，要求选出的格子不能相邻或者相隔一格，问最多能放多少（不选任何一个也行）
0 0 1 0 0
0 0 1 0 0
1 1 2 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 0 0
2为炮兵，1处不能放
思路
说的不太直白点，这个题目简述我直接从上一题复制粘贴然后改了改……
同样用二进制表示状态，和上一题基本相似，但毕竟这题和两行有关，所以我们就向上扩展两行就好。
我们设 f[i][j][k] 为前 i 行中第 i 行状态为 j ，第 i - 1 行状态为 k 时的最大值，我们枚举第 i - 2 的状态 l ，转移方程直接写上：
f[i][j][k] = max{f[i - 1][k][l]} (!(j & k) && !(k & l) && !(j & l))
有点细节：我们要手动先更新第一行和第二行的 f[][][]，我们要记得在预处理时把当前状态用到的炮兵数记录下来。还有：这题是求最优解，不是方案数！
6.斜率优化
例题1：P3628【APIO2010】特别行动队
给一个长度为n的序列A[]，分成若干段，每分成一段，其代价是ax2+bx+c，x为这一段的和，问分割最大的代价是多少？
要求：O(n)
思路：
设dp[i]为分到第i个数时，其最大代价是多少。
我们可以枚举上一段分开的位置，即分[1,i]为[1,k],[k+1,i]两段。
其整段的和可用前缀和维护。
转移方程：
dp[i] = max{dp[j] + a*(s[i]-s[j])*(s[i]-s[j]) + b*(s[i]-s[j]) + c}
考虑优化：
我这里 f[i] 就是上述的 dp[i]……
假设 k < j < i，如果从 f[j] 转移到 f[i] 比到 f[k] 转移到 f[i] 更优，即：
f[j] + a*(s[i]-s[j])*(s[i]-s[j]) + b*(s[i]-s[j]) + c < f[k] + a*(s[i]-s[k])*(s[i]-s[k]) + b*(s[i]-s[k]) + c
化简：
f[j] + a*(s[j])^2 - 2s[i]*s[j] - b*s[j] < f[k] + a*(s[k])^2 - 2s[i]*s[k] - b*s[k]
我们把只有 j, k 的项移到一边，得：
(f[j] + a*(s[j])^2 - b*s[j]) - (f[k] + a*(s[k)^2 - b*s[j]) < 2 * s[i] * (s[j] - s[k])
将 s[j] - s[k] 除过去，得：
(f[j] + a*(s[j])^2 - b*s[j]) - (f[k] + a*(s[k)^2 - b*s[j]) / (s[j] - s[k]) < 2 * s[i]
如果令 y[i] = f[i] + a*(s[i])^2 - b*s[i], x[i] = s[i]，得：
(y[j] - y[k]) / (x[j] - x[k]) < 2 * s[i]
这个式子可以看做斜率，如果满足这个条件，也就是说从 f[j] 转移到 f[i] 比到 f[k] 转移到 f[i] 更优，我们就可以把 k 这个可转移的点删去即可，我们可以用双端队列实现。
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
while(L < R && slope(q[L], q[L + 1]) < l[i]) ++L;
int j = q[L];
f[i] = f[j] + a*x_2(s[i]-s[j]) + b*(s[i]-s[j]) + c;
while(L < R && slope(q[R], i) < slope(q[R - 1], q[R])) --R;
q[++R] = i;
}
