算法导论-13.贪心算法

与动态规划类似，贪心算法也将问题化简为规模较小的子问题，并通过递归解决子问题来获取整个问题的解。不同的是，贪心问题不对子问题进行比较，而是只生成一个非空的子问题，而使选择在当时看上去是最优的（即“贪心”的含义）。

活动选择问题

几个互相竞争的活动都要求以独占的方式占用某个公用资源（如选修课程对个人可支配时间的要求，或会议对会议室的要求），每个活动都有开始时间和结束时间。如何安排活动，使在总时间内开展的活动次数最多？形式化的，一组活动组成的集合 $S={a_1,a_2...a_n}$ ，每一个活动 $a_i$ 都有开始时间 $s_i$ 和结束时间 $f_i$ 。求一组互相兼容的活动的最大子集合 $S'$。

贪心算法：

将所有活动按照结束时间排序，得到新的 $S$，首先选取结束时间最小 $a_1$ 的加入解 $S'$，然后检查 $a_2$ ，如果 $a_2$ 的开始时间大于当前已加入解的所有活动（目前就一个 $a_1$）的结束时间，那么就舍弃之，否则将其加入解 $S'$ ，再检查 $a_3$，以此类推。

能够证明，贪心算法获取的是全局最优解：

我们可以说，在排序后的 $S$，第一个活动 $a_1$（结束时间最早的活动）一定在最优解 $S'$ 中。为什么呢？因为假设 $S'$ 不包含 $a_1$，那么一定包含一个与 $a_1$ 不兼容的 $a_i$ ，是吧？（如果这都不能满足，直接向 $S'$ 中加入 $a_1$ ，得到的新子集就比 $S'$ 多了一个元素，那么 $S'$ 就不是最优解了）然后，我们可以断言，从 $S'$ 去掉 $a_i$ 再加上 $a_1$，$S'$ 仍然是最优解。

为什么呢？因为 $a_1$ 的结束时间是最早的，所以 $a_i$ 与 $a_1$ 不兼容的方式只能是：$a_i$ 的开始时间比 $a_1$ 结束时间早（但结束时间比 $a_1$ 结束时间晚），而且因为 $S'$ 中除了 $a_i$ 的其他活动都与 $a_i$ 兼容（理所当然，否则 $S'$ 连解都不是，何谈最优解？），这些其他活动都会出现在 $a_i$ 后面（也就是这些活动的开始时间比 $a_i$ 的结束时间晚），而不是前面。如果出现在前面呢？ 拜托，如果这些活动在 $a_i$ 前面，那么这些活动的结束时间比 $a_i$ 的开始时间早，也就是比 $a_1$ 的结束时间早。这怎么可能呢？$a_1$ 就是$S$ 中具有最早结束时间的活动了啊。

原理说起来拗口，实现做起来却相当简单：

class actvty{
public:
    actvty(double start, double end, int id):_start(start),_end(end),_id(id){}
    const double getStart() const {return _start;}
    const double getEnd() const {return _end;}
    const int getId() const {return _id;}
    bool operator<(const actvty& tmp) const {return getEnd()<tmp.getEnd();}
private:
    double _start;
    double _end;
    int _id;
};

std::vector<actvty> slctn(std::vector<actvty>& all){
    std::sort(all.begin(), all.end());
    std::vector<actvty> rslt;
    double start = 0;
    for (int i=0; i<all.size(); i++){
        if (all[i].getStart() >= start){
            rslt.push_back(all[i]);
            start = all[i].getEnd();
        }
    }
    return rslt;
}

练习16.1-3 假设用多个资源对一组活动进行调度，我们希望使用尽可能少的资源来满足所有活动要求。

思路：和活动选择问题类似，只不过当一个活动不能被（当前开辟的资源）满足时，我们不是将它舍弃，而是新开辟一个资源供其使用。

0-1背包问题

窃贼在偷窃一家商店时发现有 $n$ 件物品 $S=a_1,a_2...a_n$ ，每一件物品 $a_i$ 都有其价值 $v_i$ 和重量 $w_i$ ，作为一个有尊严的窃贼，他曾发誓每次只偷最多 $W$ 重量的货物，那么如何在不违背誓言的情况下，从赃物中获得最大的价值？

贪心算法：

将所有物品按照 $v_i/w_i$ 值（姑且称为“单价”吧）排序，然后先拿单价最高的，然后拿单价次高的，如果拿到一个物品后超重了，那就舍弃它并继续上述过程，直到商店里所有剩下物品中的任意一件都会使盗贼的赃物超重。

0-1背包问题是NP的，所以贪心算法不保证最优解。一个简单的例子就是：窃贼只偷取 10kg 物体，商店里只有两件物品，一件1kg，价值20元，单价20，另一件9.5kg，价值950元，单价10元。如果窃贼遵循贪心算法，就不能获得最优解了。

习题16.2-4 某教授驾车从 A 地到 B 地，总里程数确定。油箱中的汽油能支持的里程也是确定的，途中有若干个加油站。教授希望加油的次数尽量少，请确定需要加油的加油站，支持教授的车驶完全程。（假设教授出发时邮箱是满的）。

贪心算法：当途径某个加油站时，只有当油箱中的油已经不足以撑到下一个加油站时，才去加满油。

这个算法可以证明是最优的，即假设加油站序列为 $S={s_1,s_2...s_n}$，贪心解中的第一个加油站为 $s_i$ 一定在最优解中。如果 $s_i$ 不在最优解中，那么最优解中一定有一个加油站 $s_p$ 在 $s_i$ 之前，否则车开不到 $s_i+1$ 。假设最优解中的第二个加油站为 $s_q$ ，那么从最优解中去掉 $s_p$ 加上 $s_q$ 仍然是最优解。

习题16.2-7 两个集合 $A$ 和 $B$ ，各有 $n$ 个正整数，你可以按照自己的意愿对其进行排序。重新排序后，设 $a_i$ 为 $A$ 中的第 $i$ 个元素，$b_i$ 为 $B$ 中的第 $i$ 个元素。请排序元素，使 $\prod a_{i}^{b_{i}}$ 最大。

思路：全部递增排序就是。证明也很简单，就是证明当 $a_1>b_1$ 且 $a_2>b_2$ 时（当然都是正整数啊），$a_1^{b_1}>a_2^{b_2}$ 。