阶乘的增长和解决方案
阶乘的增长
许多程序设计的书上都有介绍阶乘，我相信包括我在内的人都是看过即可，没有深入的想过其他的问题。比如在整数的范围内（以C#）为例，阶乘究竟可以计算到多大。
下面以一段代码测试下：
int total = 1; for (int i =1
; i <= 20; i++) { total *= i; Console.WriteLine("{0}\t{1}",i,total); }
结果如下：
可以发现，在17就明显出问题了，再仔细观察，在14的时候也有问题，14的阶乘居然没有13的阶乘大。我们再用C#的checked关键字验证一下，发现运算到13的时候就出现溢出了。
大家都知道“指数爆炸”，在int类型的取值范围内，我们取2的指数最多可以取到30，但是阶乘最多只能取到12。可见，阶乘的增长比指数快多了。在网上找了一张各个函数增长率的图，如下：
大整数阶乘的解决
乘法本质上是加法运算，回顾我们小学的知识。被乘数乘上乘数就是乘数的各位依次与被乘数相乘再求和。例如：11*11=10*11+1*11。这样我们就可以将大数的乘法化为小数的乘法与加法。只要乘数不大于int的最大值的九分之一即可（超过九分之一则会发生溢出）。这样就可以利用乘法计算阶乘了。
代码
下面是我所写的乘法类，代码较简单，关键部分有注释，就不详细解释了。
/// <summary> /// 乘法类,可用于计数小于Int32.MaxValue十分之一的乘法 /// </summary> public class Multiplication { #region Fields /// <summary> /// 保存乘法结果的数组 /// </summary> private int[] _result = new int[4]; /// <summary> /// 被乘数的最高位 /// </summary> private int _topDigit = 3; /// <summary> /// 最大的被乘数 /// </summary> public const int MaxMultiplier = Int32.MaxValue / 9; #endregion Fields #region Properties /// <summary> /// 获取结果枚举器,按从高位到低位 /// </summary> public IEnumerable<int> Result { get { return _result.Skip(_topDigit); } } #endregion Properties #region Public Methods #region Constructs /// <summary> /// 使用被乘数为1构造乘法类 /// </summary> public Multiplication() { //初始化为1 _result[_result.Length - 1] = 1; } /// <summary> /// 使用指定的被乘数构造乘法类 /// </summary> /// <param name="multiplicand">被乘数</param> public Multiplication(int multiplicand) : this() { Multiply(multiplicand); } #endregion Constructs #region Operators /// <summary> /// 重载乘法运算符 /// </summary> /// <param name="multiplication">乘法类</param> /// <param name="multiplier">乘数,不能大于Int32.MaxValue的九分之一</param> /// <returns>进行乘法运算后的乘法类</returns> public static Multiplication operator *(Multiplication multiplication, int multiplier) { return multiplication.Multiply(multiplier); } /// <summary> /// 将指定的被乘数隐式转换为乘法类 /// </summary> /// <param name="multiplicand">被乘数</param> /// <returns>转换后的乘法类</returns> public static implicit operator Multiplication(int multiplicand) { return new Multiplication(multiplicand); } /// <summary> /// 将乘法类显式转换为int /// </summary> /// <param name="multiplication">乘法类</param> /// <returns>转换后的int</returns> public static explicit operator int(Multiplication multiplication) { int value = 0; int digit = 1; var result = multiplication._result; for (int i = result.Length - 1; i > multiplication._topDigit - 1; i--) { value += result[i] * digit; digit *= 10; } return value; } #endregion Operators /// <summary> /// 与指定的乘数进行乘法运算 /// </summary> /// <param name="multiplier">乘数,不能大于Int32.MaxValue的十分之一</param> /// <returns>进行乘法运算后的乘法类</returns> public Multiplication Multiply(int multiplier) { Contract.Assert(MaxMultiplier > multiplier); int digit = GetDigits(multiplier); //加上被乘数的位数 for (int i = _topDigit; i < _result.Length; i++) { int d = GetDigits(_result[i]); d += _result.Length - i - 1; //加上权的位数，比如100对应2位，1000对应3位 digit += d; } //扩宽一位,容纳权值 digit += 1; //位数不够，开始重新分配结果数组 if (digit > _result.Length) { var result = new int[digit]; //有效数字长度 int validLength = _result.Length - _topDigit; Array.Copy(_result, _topDigit, result, result.Length - validLength, validLength); _topDigit += digit - _result.Length; _result = result; } //进行运算 for (int i = _topDigit; i < _result.Length; i++) { _result[i] *= multiplier; } Carry(); return this; } #endregion Public Methods #region Private Methods /// <summary> /// 进位 /// </summary> private void Carry() { //从被乘数个数到最高位的前一位,依次进位 for (int i = _result.Length - 1; i > _topDigit - 1; i--) { int carry = _result[i] / 10; _result[i] = _result[i] % 10; _result[i - 1] += carry; } //在被乘数的最高位进位 for (int i = _topDigit - 1; ; i--) { int carry = _result[i] / 10; _result[i] = _result[i] % 10; if (0 != carry) { _result[i - 1] += carry; } else { break; } } UpdateTopDigit(); } /// <summary> /// 获取数字的位数 /// </summary> /// <param name="number">数字</param> /// <returns>位数</returns> private int GetDigits(int number) { return (int)Math.Ceiling(Math.Log10(number)); } /// <summary> /// 更新最高位 /// </summary> private void UpdateTopDigit() { _topDigit = 0; for (int i = 0; i < _result.Length; i++) { if (_result[i] != 0) { _topDigit = i; break; } } } #endregion Private Methods }
使用方法也很简单：
/// <summary> /// 计算阶乘 /// </summary> /// <param name="n">要计算的阶乘</param> /// <returns>阶乘的结果，数字从高位到低位</returns> static IEnumerable<int> Factrial(int n) { var mul = new Multiplication(); for (int i = 2; i <= n; i++) { mul *= i; } return mul.Result; }
扩展
正如上面所说，只能计算不超过int.MaxValue九分之一的阶乘，如果需要计算更大的阶乘，就不能再直接将乘数的每位与被乘数相乘，而是需要进一步的细化，将乘数的每位依次与被乘数的每位相乘求和。例如：11x11=10*11+1*11=（10*10+10*1）+（1*10+1*1）。在此就不提供代码实现了。
同样的思路，也可将除法化为减法。
BigInteger 结构
上面说了那么多，然并卵。从.Net Framework 4.0开始，就提供了BigInteger结构，代表一个任意大的整数，其值在理论上已没有上部或下部的界限。在此就不细谈了，具体可参考BigInteger结构。
参考资料
《程序员的数学思维修炼》
