洛谷P2513 逆序对数列

Problem

给定n，k，求得1~n中有多少种排列使得逆序对个数为k?(n,k<=1000)

Solve

考虑DP:
设f[i][j]为i个数中逆序对数量为j的排列数量
但因为我们并不知道我们这i个数到底是谁，难以通过以前的状态得到
设f[i][j]为将i放入之前的排列后，逆序对数量为k的排列数
此时我们发现可以确定前i-1个数都选择了什么，且通过这种方式我们可以得到1~n的任意一种排列，所以此定义可行。
不难得出状态转移方程为:

\[f_{i,j}=\sum_{K=0}^{K<i}f_{i-1,j-K} \]

因为当前插入的i比前面的数都大，所以可以产生0~i-1个逆序对
但此时算法时间复杂度为\(O(n^3)\) 需要对每个i,j,k枚举，注意到我们每次是对\(f_{i-1,j-i+1}\)到\(f_{i-1,j}\)求和，所以这里每次把\(f_i\)求完之后用sum数组标记前缀和即可
其中解为\(f_{n,k}\),边界略
时间复杂度\(O(n^2)\)

Code（注意取模时可能会让答案变成负数）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,f[1005][1005],sum[1005];
int main(){
    cin>>n>>k;
    f[1][0]=1;
    for(int i=0;i<=k;i++)sum[i]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=k;j++){
            if(i-1<j)
                f[i][j]=(10000+sum[j]-sum[j-i])%10000;
            else f[i][j]=sum[j];
            f[i][j]%=10000;
        }
        sum[0]=f[i][0];
        for(int j=1;j<=k;j++){
            sum[j]=sum[j-1]+f[i][j];
            sum[j]%=10000;
        }
    }
    cout<<f[n][k]%10000;
    return 0;
}