位运算技巧总结

消去x最后一位的1

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1

x&(x-1)

比如: 十进制数10的二进制为1010,9的二进制数为1001,那么(1010)&(1001)=1000，现在10的二进制中最后一位的1已经被消去

用途:

可以用来检测一个数是不是2的幂次。

如果一个数x是2的幂次，那么x>0且x的二进制中只有一个1,所以用x&(x-1)把1消去，应该返回0，如果返回了非0值，证明不是2的幂次

计算一个整数二进制中1的个数

因为1可以不断的通过x&(x-1)这个操作消去，所以当最后的值变成0的时候，也就求出了二进制中1的个数

如果将整数A转换成整数B,需要改变多少个比特位.

思考将整数A转换为B，如果A和B在第i（0<=i<32）个位上相等，则不需要改变这个BIT位，如果在第i位上不相等，则需要改变这个BIT位。所以问题转化为了A和B有多少个BIT位不相同。联想到位运算有一个异或操作，相同为0，相异为1，所以问题转变成了计算A异或B之后这个数中1的个数

其他常用操作:

异或操作

异或的性质:

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1 2	x^x=0; x^0=x;

用途:

数组中，只有一个数出现一次，剩下都出现两次，找出出现一次的数

因为剩下的都出现了两次，那么异或值肯定为0，所以把所有的数异或起来得到的值就是那个数，可以做一下nyoj-528找球号(三)

经典应用:
1. i+(~i)=-1
i取反再与i相加，相当于把所有二进制位设为1，其十进制结果为-1。

2. 计算n+1与n-1
-~n == n + 1，~n为其取反，负号 ’ - ’ 再对其取反并加1。

~-n == n - 1，思路就是找到最低位的第一个1，对其取反并把该位后的所有位也取反，即01001000变为01000111。

3. 取相反数
思路就是取反并加1，也即~n + 1或者(n ^ -1) + 1。

4. if(x == a) x = b; if(x == b) x = a;
利用^运算符的性质，即得x = a ^ b ^ x。

5. n倍数补全
当n为2的幂时，(x + n - 1) & ~(n - 1)会找到第一个大于x的数，且它正好是n的整数倍。

6. 求二进制中1的个数

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

#include<bits/stdc++.h>   using namespace std;   int lowbits(int x){     return x&-x; }   int main(){     int n;     cin>>n;     while(n--){       int x;       cin>>x;       int res=0;       while(x){           x-=lowbits(x);           res++;       }       cout<<res<<" ";     } }

7. 判断二进制中1的奇偶性

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1 2 3 4 5 6 7

x = x ^ (x >> 1); x = x ^ (x >> 2); x = x ^ (x >> 4); x = x ^ (x >> 8); x = x ^ (x >> 16);   cout << (x & 1) << endl; // 输出 1 为奇数

以下分析摘自Matrix67-位运算，并作稍微修改，

以十进制数1314520为例，其二进制为0001 0100 0000 1110 1101 1000。

第一次异或操作的结果如下：

0001 0100 0000 1110 1101 1000
^ 0000 1010 0000 0111 0110 1100
= 0001 1110 0000 1001 1011 0100

?

1 2 3

0001 0100 0000 1110 1101 1000 ^ 0000 1010 0000 0111 0110 1100 = 0001 1110 0000 1001 1011 0100

得到的结果是一个新的二进制数，其中右起第i位上的数表示原数中第i和i+1位上有奇数个1还是偶数个1。比如，最右边那个0表示原数末两位有偶数个1，右起第3位上的1就表示原数的这个位置和前一个位置中有奇数个1。

对这个数进行第二次异或的结果如下：

0001 1110 0000 1001 1011 0100
^ 0000 0111 1000 0010 0110 1101
= 0001 1001 1000 1011 1101 1001

?

1 2 3

0001 1110 0000 1001 1011 0100 ^ 0000 0111 1000 0010 0110 1101 = 0001 1001 1000 1011 1101 1001

结果里的每个1表示原数的该位置及其前面三个位置中共有奇数个1，每个0就表示原数对应的四个位置上共偶数个1。

一直做到第五次异或结束后，得到的二进制数的最末位就表示整个32位数里1的奇偶性。

8. 判断奇偶性

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1 2 3 4 5

/* 判断是否是奇数 */ bool is_odd(int n) {     return (n & 1 == 1); }

9. 不用临时变量交换两个数

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1 2 3 4

/* 此方法对 a 和 b 相等的情况不适用 */ a ^= b;  b ^= a;  // 相当于 b = b ^ ( a ^ b ); a ^= b;

10. 取绝对值

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1 2 3 4 5

/* 注意：以下的数字 31 是针对 int 大小为 32 而言 */ int abs(int n) { return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31); }

其中n >> 31取得n的正负号。

若n为正数，n >> 31的所有位等于0，其值等于0。表达式转化为n ^ 0 - 0，等于n；

若n为负数，n >> 31的所有位等于1，其值等于-1。表达式转化为(n ^ -1) + 1，这很好理解，负数的相反数就是对其补码取反再加1，(n ^ -1) + 1就是在做这样的事。

11. 取两数的较大值

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1 2 3 4 5

/* 注意：以下的数字 31 是针对 int 大小为 32 而言 */ int max(int a, int b) { return (b & ((a - b) >> 31)) | (a & (~(a - b) >> 31)); }

如果a >= b，(a - b) >> 31为0，否则为-1。

12. 判断符号是否相同

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1 2 3 4 5

/* 若 x，y 都为 0，输出真；若只有一个为 0，不会报错但运行结果是错的，因为 0 没有正负之分 */ bool is_same_sign(int x, int y) { return (x ^ y) >= 0; }

13. 判断一个数是不是2的幂

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1 2 3 4

bool is_power_of_two(int n) { return (n > 0) ? (n & (n - 1)) == 0 : false; }

如果是2的幂，n - 1就是把n的二进制的最低的那个1取反为0，并把后面的0全部取反为1。

14. 取余2的幂次方

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1 2 3 4 5

/* 其中 m 为 2 的幂次方，并对 m 取余 */ int mod(int n, int m) { return n & (m - 1); }