Acwing 前缀和与差分
一、一维前缀和
原题链接
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。
对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。
接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000
代码案例：5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：3
6
10
题解
注意都是从1开始取的
import java.util.Scanner;
public class Main{
public static void main(String[] args){
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n = scan.nextInt();
int m = scan.nextInt();
int[] a = new int[n+1];
int[] s = new int[n+1];
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
a[i] = scan.nextInt();
}
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
s[i] = s[i-1] + a[i];
}
while(m-- > 0){
int l = scan.nextInt();
int r = scan.nextInt();
System.out.println(s[r] - s[l-1]);
}
}
}
二、（二维）796. 子矩阵的和
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。
输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例：
17
27
21
题解
import java.util.Scanner;
public class Main{
public static void main(String[] args){
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n = scan.nextInt();
int m = scan.nextInt();
int q = scan.nextInt();
int[][] a = new int[n+1][m+1];
int[][] s = new int[n+1][m+1];
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
for(int j = 1 ;j <= m ; j ++ ){
a[i][j] = scan.nextInt();
}
}
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
for(int j = 1 ;j <= m ; j ++ ){
s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];
}
}
while(q-->0){
int x1 = scan.nextInt();
int y1 = scan.nextInt();
int x2 = scan.nextInt();
int y2 = scan.nextInt();
System.out.println(s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1]);
}
}
}
三、一维差分
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数序列。
接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。
数据范围
1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2
题解
类似于数学中的求导和积分，差分可以看成前缀和的逆运算。
差分数组：
首先给定一个原数组a：a[1], a[2], a[3], a[n];
然后我们构造一个数组b ： b[1] ,b[2] , b[3], b[i];
使得 a[i] = b[1] + b[2 ]+ b[3] +, + b[i]
也就是说，a数组是b数组的前缀和数组，反过来我们把b数组叫做a数组的差分数组。换句话说，每一个a[i]都是b数组中从头开始的一段区间和。
考虑如何构造差分b数组？
最为直接的方法
如下：
a[0 ]= 0;
b[1] = a[1] - a[0];
b[2] = a[2] - a[1];
b[3] =a [3] - a[2];
…
b[n] = a[n] - a[n-1];
我们只要有b数组，通过前缀和运算，就可以在O(n) 的时间内得到a数组 。
知道了差分数组有什么用呢？ 别着急，慢慢往下看。
话说有这么一个问题：
给定区间[l ,r ]，让我们把a数组中的[ l, r]区间中的每一个数都加上c,即 a[l] + c , a[l+1] + c , a[l+2] + c , a[r] + c;
暴力做法是for循环l到r区间，时间复杂度O(n)，如果我们需要对原数组执行m次这样的操作，时间复杂度就会变成O(n*m)。有没有更高效的做法吗? 考虑差分做法，(差分数组派上用场了)。
始终要记得，a数组是b数组的前缀和数组，比如对b数组的b[i]的修改，会影响到a数组中从a[i]及往后的每一个数。
首先让差分b数组中的 b[l] + c ,通过前缀和运算，a数组变成 a[l] + c ,a[l+1] + c, a[n] + c;
然后我们打个补丁，b[r+1] - c, 通过前缀和运算，a数组变成 a[r+1] - c,a[r+2] - c,a[n] - c;
b[l] + c，效果使得a数组中 a[l]及以后的数都加上了c(红色部分)，但我们只要求l到r区间加上c, 因此还需要执行 b[r+1] - c,让a数组中a[r+1]及往后的区间再减去c(绿色部分)，这样对于a[r] 以后区间的数相当于没有发生改变。
结论:给a数组中的[ l, r]区间中的每一个数都加上c,只需对差分数组b做 b[l] + = c, b[r+1] - = c。时间复杂度为O(1), 大大提高了效率。
import java.util.Scanner;
public class Main{
static int[] b = new int[100010];
static int[] a = new int[100010];
public static void main(String[] args){
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n = scan.nextInt();
int m = scan.nextInt();
for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
a[i] = scan.nextInt();
// insert(i , i ,a[i]);
b[i] = a[i] - a[i-1] ;
}
while(m-- > 0){
int l = scan.nextInt();
int r = scan.nextInt();
int c = scan.nextInt();
insert(l,r,c);
}
for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
a[i] = a[i - 1] + b[i];
System.out.print(a[i] +" ");
}
}
public static void insert(int l , int r , int c){
b[l] += c ;
b[r+1] -= c ;
}
}
四、798. 差分矩阵
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数 n,m,q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。
输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
结论：
给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c,
S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c
x1,y1加上c 这个方格图是a[][]的 那么包含x1,y1的所有点都需要加上c 它影响的是右下方
import java.util.Scanner;
public class Main{
static int[][] b = new int[1010][1010];
public static void main(String[] args){
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n = scan.nextInt();
int m = scan.nextInt();
int q = scan.nextInt();
int[][] a = new int[1010][1010];
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
for(int j = 1 ; j <= m ; j ++ ){
a[i][j] = scan.nextInt();
check(i,j,i,j,a[i][j]);
}
}
//s[i,j]矩阵中，前缀和只看具体i这一行，j这一列的这些数的前缀和。
while(q-- > 0){
int x1 = scan.nextInt();
int y1 = scan.nextInt();
int x2 = scan.nextInt();
int y2 = scan.nextInt();
int c = scan.nextInt();
check(x1,y1,x2,y2,c);
}
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
for(int j = 1 ; j <= m ; j ++ ){
a[i][j] = a[i-1][j] + a[i][j-1] - a[i-1][j-1] + b[i][j]; // 前缀和
System.out.print(a[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
static void check(int x1 ,int y1,int x2,int y2,int c){
b[x1][y1] += c;
b[x1][y2+1] -= c;
b[x2+1][y1] -= c;
b[x2+1][y2+1] += c;
}
}
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