2.数据的存储

数据的存储

1.整数的存储

1.进制间转换

• 数据在计算机中是以二进制数表示的，1位二进制数表示1bit（比特），1byte（字节） = 8 bit

对于十六进制和二进制转换，可以记住 A(1010)、 C(1100)、F(1111)，这三个数然后通过这三个数来记住 B = A + 1、D = C + 1、E = F - 1, 记住这些就可以快速计算出对于的值

进制转换：对于 2 -> 16 , 16 -> 2 只需要记住 4个二进制对于 1个十六进制即可，其他进制转换到10进制直接展开即可，其他进制转换2进制，进行 % 2 + 余数，知道无法在进行取余即可，然后将所以数倒排即可

例如 10进制 10 转换成 2进制数
	10 / 2 = 5	10 % 2 = 0;   0
	5 / 2 = 2   5 % 2 = 1;    1
	2 / 2 = 1   2 % 2 = 0;    0
	1 / 2 < 1   1 % 2 = 1;    1
所以说, 10的二进制数表示就是1010

2.无符号数与有符号数

1.无符号数

• 对于无符号数来说，是使用原码进行表示，其每一位bit表示对于数的正权值，例如1010 = 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^ 1 + 0 * 2^0 = 10
• 最值问题：对于无符号数的最值其实就是所有的正权值数的累计和，即是2^n - 1

2.有符号数

• 对于有符号数来说，都是使用补码来进行表示，其重要的就是最高位是负权值表示，这点非常重要，例如 -5 = 1011，-10 = 10110

• 对于有符号数来说，有最大值和最小值，MAX = 0 + 2^(n - 2) + …… + 2^0 = 2^(n - 2) - 1，其MIN就是最高位为1，其他位为0，MIN = 2^(n - 2)

3.有符号数和无符号数之间的关系

有符号数和无符号数来说，在计算机的存储方式其实都是一样的，只是在解释方式不同而已，所以在使用无符号数和有符号数解释时要注意使用不同的解释方式，即原码和补码的解释方式

4.特殊数

在有符号数和无符号数中，全1的数字是非常特殊的

• 对于无符号数来说，全1代表着无符号数的最大值
• 对于有符号数来说，全1代表着-1，无论是多少位都是代表着-1

3.数据溢出和移位操作

1.数据溢出

• 其本质上就是数据运算时出现结果不符合预期值的情况，在此讨论有符号数和无符号数的溢出情况

3.1 无符号数的溢出

• 对于无符号数来说，其值都是大于0的，当进行计算出现两者相加小于原来的加数时就出现溢出的情况

  对于两个4位二进制无符号数1100 + 1100 = 1000， 其值小于原来的加数

3.2 有符号数的溢出

• 对于有符号数来说，只有两个数符号相同时才会出现溢出的情况，所以直接看同正或者同负的情况

当同为正且出现溢出时，结果值将会变成负值（正溢出）；当同为负且出现溢出时，结果值将会变成正值（负溢出）

注：计算机中会将减法转化成加上一个负数

2.移位操作

2.1 字节序存储方式

首先先看一下数值在计算机中的存储方式，其分为 小端字节序 和 大端字节序

• 其用一句话来表示就是：大端法将高位放到低地址处，低位放到高地址处；小端法将高位放到高地址处，低位放到低地址处
• 注意：向67在小端法中放入内存中并不会变成76，其数值是不会跟随存储方式改变

2.2 移位

• 移位操作分为 左移(向左) 和 右移(向右) 操作

左移：对于有符号数和无符号数来说，都是在右端补0

右移：对于无符号数来说，执行逻辑右移，其就是在左端补0；但是对于有符号来说，其左端要补的数字就是最高的负权值的位数 1 / 0，执行的是算术右移

那为什么对于有符号数的算术右移是在左端补充的是负权值的数呢？

• 当负权值上面的数为0时，其就是和逻辑右移一致
• 当负权值上面的数为1时，我们先来看右移一位时的情况，原数为 -2^(n - 1) + 0 + …… + 0， 当我们右移一位时，其值变成了 -2^(n) + 2^(n - 1) + 0 + …… + 0，对比两个数我们会发现两者的值并没有发生改变，所以我们就可以推广到右移任意位数

2.3 移位及加减代替乘法

• 对于一个整数来说， << k 就是乘上 2^k ，同理 >> k 就是除以 2^k （注意k为非负数）

在计算机中的处理数据运算时，通常会将乘法转化成对于数倍数的 加减法，在计算机中加减法的运算执行时间少于乘法，所以利用位移运算可以将其进行转化

4.常见数据类型的范围

• 在题目中经常涉及到数据范围，所以还是记忆一下常见的数据的范围

数据类型	范围1	范围2
unsigned char、char	255 ~ 0	127 ~ -128
unsigned short、short	65525 ~ 0	32767 ~ -32768
unsigned int、int	4,294,967295	2147483647 ~ -2147483648

2.浮点数

1.浮点数的表示

1.浮点数的组成

• 浮点数V = （-1）^s * M * 2^E 表示， 由符号位、尾数、阶数
• 符号数（sign）：决定浮点数的正负
• 尾数（significand）： 就是图中frac，表示二级制小数
• 阶数（exponent）：就是2^E中的e，表示对浮点数加权值

对于浮点数有两种float、double，其对于三个组成部分的bit数为 flaot： s(1)、e(8) 、f(23) double：s(1)、e(11) 、f(52)，double的精度大于float

对于浮点数主要由三种的表示方式：

• 规格化的，其中e不等于0也不等于255
• 非规格化的，其中e 等于0
• 特殊值，其中e 等于255

2.规格化的浮点数

• 规格化的，其中e不等于0也不等于255

对于规格化的浮点数就是表示正常的浮点数，其中两个点需要注意

• E = e - bias，bias（等于2^(e的总位数 - 1) - 1），在float中其等于2^(8 - 1) - 1= 127，double中等于 2^(11 - 1) - 1 = 1023，在float类型中E_min = -126、E_max = 127， 若是在计算时超过这两个值中的一个则出现了溢出

• 还有就是在计算尾数时，规格数省略了小数点前的1，也是说在计算时需要加上1

3.非规划的

• 非规划的浮点数e = 0

对于非规划的浮点数有两个用处，要注意的是非规划的浮点数的 阶数E = 1 - bias = -126是非常小的，还有就是 M = f是没有隐藏的1

• 表示0，当M = f = 0，尾数的总和等于 0，阶数E = -126，又因为其有s符号位，所有就有+0.0 和 -0.0 两种0的表示方式
• 表示非常接近0.0的数，因为阶数E = -126是非常小了 V = (-1)^s * M * (2)^(-126)将会是一个非常小的数，此时无论正负都接近于0.0

4.特殊值

• 特殊值，其中e 等于255

对于特殊值有两种作用：

• 表示无穷值，此时不光e = 255， f = 0，根据符号位可以表示正负无穷
• 当f 不等于0是，表示不是数（not a number），比如根号下-1，两个无穷相减

2.浮点数的加法

浮点数的加法有以下步骤：

• 对阶、有效位数相加、将结果规格化、检查溢出、舍入(需要根据题目进行精度舍入)

下面将将会举一个例子：

先将10进制数转化成二级制数

然后进行对阶，即就是将低位的浮点数的阶数提高到于高位的浮点数相同，以便下一步操作

!](./%E5%9B%BE%E7%89%87/QQ%E6%88%AA%E5%9B%BE20221207210136.png)

然后将有效数进行相加

将计算结果进行规格化同时判断阶数是否超过规定范围： -126 ~ 127，若是超过就是发生了溢出，等到的结果就不正确了

最后根据题目要求进行精度的舍入，如果到达精度则不需要操作

3.浮点类型与其他类型

在C语言中进行类型转换由于不同类型的表示方式不同，可能会出现我们不期望的结果，所以我们需要了解在相互转换的过程当中可能会出现哪些错误

• int ——> float，数字不会溢出，但是可能会出现舍入问题 12345没有舍入问题（比它小的也一定没有）
• int / float ——>，并不会出现问题
• double ——> float，可能会溢出成无穷值 或者 出现舍入问题 如果是原来的数就是flaot再转为double再转回去就不会舍入
• float / double，这个可能出现的问题就比较多了，比如：向0舍入、值溢出、……，其他情况需要具体分析

3.运算部件

1.二进制加法

1.半加器与全加器

在二进制加法中，运算的主要部分包括两个运算位和进位，首先我们做出一个简单的加法器（只考虑两个运算位），即就是半加器

• 在半加器中，我们只考虑两个二进制的运算位，而不考虑进位，可以看出当两个数同一时我们才会产生进位，只要有一出现输出就是一，此时我们考虑将两个半加器组成一个全加器，就是把sum输出和进位当做两个运算位，在次进行运算即可，如下图

此时我们得到了一个全加器，器其进位信号的表达式经过化简的得到 进位 = a * b + (a + b) * c_in，当我们将一个个的全加器串联起来就可以得到一个完整的加法器

2.行波加法器与先行加法器

1.行波加法器

• 首先我们把一个全加器简化成下面的部件

• Cin表示低位的进位，a、b是两个运算位，S表示输出位，Cout表示进位，将32位的全加器串联起来就可以得到一个32的加法器，这个加法器也叫 32位行波加法器

可以看出，从最低位开始每次两个数的对于位进行相加，同时加上低位是进位（0位没有低位进位，即是0），并将加法结果输出，进位传个高位，这里我们注意到一个点，只有在低位运算结束之后我们才会得到低位的进位，也就是说只有低位运算之后我们才可以进行高位的运算，这就产生了数据依赖，所以我们的这种串联的行波加法器效率并不高，所以也就有了下面的先行加法器的出现

2.先行加法器

• 在上面行波加法器中，我们的关键路径就是需要等待低位传来的进位信号，所以我们想有没有办法提前得到低位传来的进位信号，对于进位信号的计算我们可以算出 C_2 = a * b + (a + b) * C_1，可以得到一个全加器的进位只与 低位的运算数和进位得到（最低位的进位已知），所以我们可以通过计算得到所以的进位，如下图

• 所以说就可以通过计算得到所以的进位，但是注意随着位数的增加，需要进行的计算也就增多，所以我们只考虑部分的全加器进行先行计算进位，然后再将其串联起来或者嵌套进行先行计算，如下图表示的

这样相比行波加法器效率就会高很多，其实本质上就是提高了计算的并行性，使在同一时间内可以进行多个相同的运算

2.二进制减法器

• 首先介绍一个组合逻辑电路，数据选择器（多路选择器），通常由2选1、4选1、8选1、16选1，在数电中74ls151就是u一个81数据选择器，下面展示一个41数据选择器，数据选择器会在减法器、TLB等中用到

我们可能经常会听到可以使用加法来代替减法，也的确是这样的，在计算机中我们也是使用加法器来代替减法器，为什么可以呢？ 在前面我们有 -x = ~x + 1，这个式子，这里简单说一下证明，x + ~x 始终会等于 FFF…… ，即是全1的二级制代码，而在补码中全1的二进制代表的就是-1，所以就有 x + ~x = -1，化简一下就得到了 -x = ~x + 1，所以一个数的减法就可以表示成 加上 ~x + 1，所以我们就可以得到对应的减法器了。

!](./%E5%9B%BE%E7%89%87/QQ%E6%88%AA%E5%9B%BE20221210161321.png)

此时，我们就的得到了减法器，但是还有一个问题就是如何让加法器 和 减法器 合并成一个器件，这是就要用到数据选择器，当前选择进行减法时，我们需要的数据是 ~x 和 最低位进位为1，选择加法时我们需要的是原数据 和 最低位进位为0，即我们就有了下面的加法、减法二合一的电路

3.二级制乘法器

• 在计算二级制乘法时，我们在前面学过对于一个数进行二进制乘法时，我们可以将其转化成对于进行左移和加法运算，如对于一个数x进行乘 9 可以转化成 x * 2^3 + x * 2^0 = （x << 3） + （x << 1)， 此时就可以将二进制乘法转化成二级制加法和逻辑运算，对于一个二进制数的乘法步骤如下

• 可以看出，当进行二级制乘法时对于乘数我们只关心为1的情况，同时被乘数要随着乘数的右移进行左移，所以就有了下面的计算步骤

1.乘法计算步骤

2.标准乘法器

• 对于进行的乘法的步骤，首先控制单元，判断乘数的最低位是否为1，当为1时，将被乘数的值通过ALU加到我们的乘积中（也就是结果当中），然后每次将乘数右移，被乘数左移，当乘数的最低位为1时再次进行上步骤
• 控制单元的作用（重点）：由图像我们可以看出，控制单元管理乘数寄存器的右移操作、被乘数寄存器的左移操作、以及ALU是否进行加法运算和是否对乘积进行写操作，具体作用看上图控制测试的连出先即可
• 在进行进行计算时我们可以发现，在返回结果的时候我们只需要32位，而我们的乘积结果寄存器中却使用了64位，而对应的乘数每次进行右移，渐渐的高位的位置就不再被使用，对此我们进行优化，将乘积寄存器和和乘数寄存器合并

3.改进版乘法器

• 得到如图的优化版乘法器，当然除了这种优化还可以进行提高并行性的优化

4.快速乘法器

• 本质类似于加法器中的先行加法器，对于运算提高了并行性，所以提高运算的效率，当然除了上述的方法还有booth算法、华莱士树乘法器等

4.二进制除法

• 在以往的408中并没有考到

对于二进制除法的运算如图

对于除法运算，首先会将被除数放入余数寄存器当中，然后进行除法运算，若余数小于0则把商的低位赋为0然后商左移，除数右移，同时将余数寄存器的值恢复，进行下一轮运算；若余数大于等于，就将商最低位赋为1然后左移，除数右移，进行下一轮运算

• 注意：在上面的加、减、乘的运算中，都是会有其固定的时钟周期的，而除法就比价特殊其时钟周期是在一个范围内，根据具体的数据而定

对于除法器和其优化版本如图：