图Graph

　　　　　　　　　　　　　　图Graph

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　作者：尹正杰

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一.图的概述

 1>.什么是图

经典定义:图Graph由顶点和边组成，顶点的有穷非空集合为V，边的集合为E，记作 G(V, E) 。 顶点Vertex，数据元素的集合，顶点的集合，有穷非空; 边Edge，数据元素关系的集合，顶点关系的集合，可以为空。

边可以有方向。
　　无向边记作(A,B) 或者 (B,A) ，使用小括号。
　　有向边记作<A,B> ，即从顶点A指向顶点B。 <B,A> 表示顶点B指向顶点A。使用尖括号。 
　　有向边也叫做弧，边表示为弧尾指向弧头。

2>.无向图

Undirected Graph

无方向的边构成的图。 G=(V,E) V={A,B,C,D} E={(A,B),(A,C),(B,C),(B,D),(C,D)}

3>.有向图

Directed Graph

有方向的边构成的图。 G=(V,E) V={A,B,C,D} E={<A,B>,<A,C>,<C,B>,<B,D>}

4>.稀疏图 

　　Sparse Graph 

　　图中边很少。最稀疏的情况，只有顶点没有边，这就是数据结构Set。

5>.稠密图

　　Dense Graph 

　　图中边很多。最稠密的情况，任意2个顶点之间都有关系。

6>.完全图  

　　Complete Graph 

　　包括了所有可能的边，达到了稠密图最稠密的情况，任意2个顶点之间都有边相连。 

　　有向的边的完全图，叫做有向完全图。边数为n(n-1) 

　　无向的边的完全图，叫做无向完全图。边数为n(n-1)/2

　　5边形，1+2+3+4，这就是1+2+...+(n-1) = n(n-1)/2 

7>.子图

　　如果图G(V, E)和G'(V', E') 满足V'≤ V 且 E'≤E，则G'是G的子图。 

　　换句话说，就是一个图的部分顶点和部分边组成的图为子图，有向图要注意边的方向。

8>.边的权Weight 

　　给边赋予的值称为权。权可以表示距离、所需时间、耗费的时间等。 

　　约定，后面默认说的图，都是不带权的。

9>.网network 

　　图中的边有权，图被称为网

 

10>.自环Loop 

　　若一条边的两个顶点为同一个顶点，则此边称作自环。

　　边中存在这样一个边 (u,v) 或者 <u,v> ，且 u=v 。

11>.简单图 

　　无重复的边，或无顶点到自身顶点的边(自环)的图。

　　我们后面讨论的是简单图的性质。 

12>.邻接 

　　图的边集为E。

　　无向图，若 (u,v)∈ Ε，则称u和v相互邻接，互为邻接顶点。 

　　有向图，若<u,v>∈ Ε，则称u邻接到v，或v邻接于u 

　　简单说，就是2点之间有条边，2点邻接。这说的是点之间的关系。

13>.关联(依附) 

　　若 (u,v) ∈ E 或者 若 <u,v> ∈ E ，则称边依附于顶点u、v ，或 顶点u、v与边相关联。 

　　这说的是点和边的关系。

14>.度Degree 

　　一个顶点的度是指与该顶点相关联的边的条数，顶点v的度记作TD(v)。

　　无向图顶点的边数叫做度。

　　有向图的顶点有入度和出度，顶点的度数为入度和出度之和TD(v)=ID(v)+OD(v)。 
　　　　入度(In-degree):一个顶点的入度是指与其关联的各边之中，以其为终点的边数 
　　　　出度(Out-degree):出度则是相对的概念，指以该顶点为起点的边数。

15>.路径Path 

图G(V,E)，其任意一个顶点序列，相邻2个顶点都能找到边或弧依次连接，就说明有路径存在。有向图的弧注意方向。所有顶点都要属于V，所有边都必须属于E。 

路径长度
　　等于顶点数-1，等于此路径上的边数 

简单路径
　　路径上的顶点不重复出现，这样的路径就是简单路径

  

16>.回路

路径的起点和终点相同，这条路径就是回路。

简单回路
    除了路径的起点和终点相同外，其它顶点都不同。

如下图所示:
    ABCD就是简单路径。 
    ACDBA就是简单回路。 
    ABCDBA是回路，但是不是简单回路。

 

二.连通

　　无向图中，顶点间存在路径，则两顶点是连通的。

　　注意:连通指的是顶点A、D间有路径，而不是说，这两个顶点要邻接。

1>.连通图 

　　无向图中，如果图中任意两个顶点之间都连通，就是连通图。也就是任意2个顶点之间都有路可达。

2>.连通分量

　　无向图中，指的是“极大连通子图”。 

　　无向图未必是连通图，但是它可以包含连通子图。

3>.强连通 

　　有向图中，顶点间存在2条相反的路径，即从A到B有路径，也存在从B到A的路径，两顶点是强连通的。 

　　下图就没有2个顶点是强连通的。

 

4>.强连通图 

　　有向图中，如果图中任意2个顶点都是强连通，这个图称为强连通图。

5>.强连通分量

　　有向图中，指的是“极大强连通子图”。 

　　有向图未必是强连通图，但是可以包含强连通的分量。

  

三.DAG 

　　一个无环的有向图称做有向无环图(Directed Acyclic Graph)，称为DAG。 

　　一个有向图中，任意一个顶点，都找不到一条能回到该顶点的路径。

 

 

四.生成树 

它是一个极小连通子图，它要包含图的所有n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。
　　如果一个图有n个顶点，且少于n-1条边，那么一定是非连通图。因为至少要n-1条边才行啊 
　　如果一个图有n个顶点，且多于n-1条边，那么一定有环存在，一定有2个顶点间存在第二条路径。但是不一定是连通图，但是一定有环。 
　　如果一个图有n个顶点，且有n-1条边，但不一定是生成树。要正好等于n-1条边，且这些边足以构 成一棵树 

 

五.有向树

　　一个有向图恰好有一个入度为0的顶点，其他顶点的入度都为1。注意，这里不关心出度。 

　　生成树森林
　　　　若干有向树构成有向树森林

　　有向无环图不一定能转化为树(因为可能有交叉)，但是树一定是有向无环图

 

六.领接矩阵 

　　图是由vertex和edge组成，所以可以分成2个数组表示。 

　　顶点用一维数组表示，例如v0、v1、v2、v3。 

　　边使用二维数组表示，由顶点构成的二维数组

　　无向图表示，如下图所示，有4个顶点的无向图：

	v0	v1	v2	v3
v0	0	1	1	1
v1	1	0	1	0	v1度数为2，2条边使用了这个顶点
v2	1	1	0	1
v3	1	0	1	0

　　如果对角线上数字为1，说明出现了自环。 如果除了对角线全是1，说明没有自环，且是一个无向完全图。 上面的矩阵，称为图的邻接矩阵。 顶点的度数，等于对应的行或者列求和。 邻接点，矩阵中为1的值对应的行与列对应的顶点就是邻接点。 无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵。