基环树学习笔记 & CF711D Directed Roads

传送门

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基环树

定义：

n个节点n条边的连通图。

性质：

很显然有且仅有一个环。

如何找环：

• dfs，每次读到一个节点入栈（类似Tarjan）
• 拓扑排序：最后剩下的度数不为零的点一定就在环上

题目通常解法：

• 把环看做一个整个树的根，然后把子树的信息挂到环的每一个点上，问题变成了环上操作，再根据题目需求进行断环成链等操作。
• 把环任意断开一条边，整张图就变成了一棵树，这时候可以方便地进行树形dp等。注意这时要特判断边的两端点的关系。

解题思路

首先这个题保证了每个点都有边，而且n个点n条边，我们推出这是个基环森林。

然后我们发现环之外的边是可以任意方向的，而每个环上的点只要不是一个方向即可。

所以容斥一下，答案为：

\[2^{n-\sum{len}} \prod (2^{len}-2) \]

其中 len 为每个环的长度。

AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=2e5+5;
const long long mod=1e9+7;
int n,p[maxn],in[maxn],x,cnt;
long long k,num,ans=1;
long long ksm(long long a,long long b){
	if(b==0) return 1;
	if(b==1) return a;
	long long res=ksm(a,b/2);
	if(b&1) return res*res%mod*a%mod;
	return res*res%mod;
}
struct node{
	int v,next;
}e[maxn*2];
void insert(int u,int v){
	cnt++;
	e[cnt].v=v;
	e[cnt].next=p[u];
	p[u]=cnt;	
}
int dfs(int u){
	int cnt=1;
	in[u]--;
	for(int i=p[u];i!=-1;i=e[i].next){
		int v=e[i].v;
		if(in[v]==0||in[v]==1) continue;
		cnt+=dfs(v);
	}
	return cnt;
}
void topo(){
	queue<int> q;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(in[i]==1){
			q.push(i);
			in[i]--;
		}
	}
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		for(int i=p[u];i!=-1;i=e[i].next){
			int v=e[i].v;
			if(v==u) continue;
			in[v]--;
			if(in[v]==1) q.push(v);
		}
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	memset(p,-1,sizeof(p));
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>x;
		insert(i,x);
		insert(x,i);
		in[x]++;
		in[i]++;
	}
	topo();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(in[i]>=2){
			k=dfs(i);
			num+=k;
			ans=(ans*(ksm(2,k)-2)%mod);
		}
	}
	cout<<(ksm(2,n-num)*ans)%mod;
	return 0;
}