Lucas定理学习笔记 & 洛谷 P3807 【模板】卢卡斯定理/Lucas 定理

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Lucas定理

OI-Wiki讲的太好了：http://oi-wiki.com/math/number-theory/lucas/#lucas

做一下总结补充解释：

1. \((a+b)^p\equiv a^p+b^p \pmod p\)
2. \(f^p(x)\equiv f(x^p) \pmod p\) 其中 \(f(x)\) 表示关于 \(x\) 的一个多项式。

3. \[\begin{aligned} (a+b)^n& \equiv (a+b)^{p\times \left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}\times(a+b)^{n \bmod p}\pmod p\\ & \equiv (a^p+b^p)^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}\times(a+b)^{n \bmod p}\pmod p\\ \end{aligned} \]

求 \(C_n^m\) 时，相当于求 \((a+b)^n\) 的第 \(m\) 项（\(a\) 的次数为 \(m\) 的项）的系数。
也就是化简之后的式子 \((a^p+b^p)^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}\) 的第 \(\left \lfloor \frac{m}{p} \right \rfloor\) 项和 \((a+b)^{n \bmod p}\) 的第 \(m\) 项的系数的乘积。

这样不断递归下去求解即可。

最终式子为：

\[C_n^m=C_{(n/p)}^{(m/p)}\times C_{(n\bmod p)}^{(m \bmod p)}\pmod p \]

还有exLucas定理，省选以上内容，希望有朝一日有必要学到（强烈暗示）

AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<ctime>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<algorithm>
using namespace std;
template<class T>inline void read(T &x)
{
    x=0;register char c=getchar();register bool f=0;
    while(!isdigit(c))f^=c=='-',c=getchar();
    while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    if(f)x=-x;
}
template<class T>inline void print(T x)
{
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)print(x/10);
    putchar('0'+x%10);
}
const int maxn=2e5+5;
long long T,n,m,p,d[maxn];
long long ksm(long long a,long long b){
	if(b==1) return a%p;
	if(b==0) return 1;
	long long res=ksm(a,b/2);
	if(b&1) return res*res%p*a%p;
	return res*res%p;
}
inline long long inv(long long a){
	return ksm(a,p-2);
}
inline long long c(long long n,long long m){
    if(m>n) return 0;
	return d[n]*inv(d[m])%p*inv(d[n-m])%p;
}
long long dfs(long long n,long long m){
	if(m==0) return 1;
	if(m==1) return n%p;
	return dfs(n/p,m/p)*c(n%p,m%p)%p;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>T;
	while(T--){
		cin>>n>>m>>p;
		d[0]=1;
		for(int i=1;i<p;i++) d[i]=(d[i-1]*i)%p;
		cout<<dfs(n+m,n)<<endl;
	}
	return 0;
}