[数论学习笔记]费马小定理、欧拉函数、欧拉定理、欧拉降幂公式

前置知识

完全剩余系

百度百科：

从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系。

简单点说，n的完全剩余系就是0到n-1的集合。

缩剩余系

又叫简化剩余系。
简单点说，n的缩剩余系就是其完全剩余系中与n互质的数组成的一个集合。

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费马小定理

内容:

\[\text{若 $p$ 为质数，且 $\gcd(a,p)=1$ ，则 $a^{p-1}\equiv1\pmod p$ 。} \]

证明：

考虑p的缩剩余系，因为p是质数，所以p的缩剩余系为 \(\{1,2,3,\cdots,p-1\}\)
把缩剩余系中的每个数乘上一个数k(要求：\(\gcd(k,p)=1\) )，所得到的集合在模p意义下仍是p的缩剩余系。
上一句如何证明？
只需证明在新集合中任意两个数都不相等即可。
反证：取出两个数 \(k\times a_1,k\times a_2\),若这两个数在模p移一下相等，则

\[k\times a_1\equiv k\times a_2\pmod p \]

移项得：

\[k\times (a_1-a_2)\equiv 0\pmod p \]

即：

\[p\mid k\times(a_1-a_2) \]

又因为

\[\gcd(p,k)=1 \]

所以得出

\[p\mid(a_1-a_2) \]

而

\[0 < a_1 \le p-1 \]

\[0 < a_2 \le p-1 \]

所以

\[p\nmid(a_1-a_2) \]

不成立。
所以所得到的集合在模p意义下仍是p的缩剩余系。
这时候就有下面这个式子：

\[1\times2\times3\times\cdots\times(p-1)\equiv k\times2k\times3k\times(p-1)k\pmod p \]

化简一下可得：

\[(p-1)!\equiv(p-1)!\times k^{p-1}\pmod p \]

因为

\[\gcd((p-1)!,p)=1 \]

所以两边约去后得

\[k^{p-1}\equiv1\pmod p \]

证毕。

应用

求逆元
而逆元应用非常广泛。

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欧拉函数

定义

欧拉函数\(\psi(x)\)表示小于x的数字中与x互质的数的个数。

公式

\[\psi(x)=x\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_i}) \]

其中n表示x的质因数个数。

证明

考虑容斥原理。
设 \(p_1,p_2\) 为 \(x\) 的两个质因数，则 \(p_1\)的倍数有 \(\frac{x}{p_1}\) 个，\(p_2\) 的倍数有 \(\frac{x}{p_2}\) 个。
把这些数删去，还剩下 \(x-\frac{x}{p_1}-\frac{x}{p_2}+\frac{x}{p_1\times p_2}\) 个。（多删了 \(\frac{x}{p_1\times p_2}\) 个）
然后就是化简变形：

\[\begin{aligned} & \quad x-\frac{x}{p_1}-\frac{x}{p_2}+\frac{x}{p_1\times p_2}\\ & =x(-\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_1\times p_2})\\ & =x(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\\ \end{aligned}\]

推广到n个质因数，得到公式：

\[\psi(x)=x\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_i}) \]

性质

积性函数。
满足：

\[\psi(nm)=\psi(n)\psi(m)\quad\gcd(n,m)=1 \]

若p是质数，则：

\[\psi(p^k)=(p-1)\times p^{k-1} \]

线性求代码实现

线性筛可是很NB的，以至于所有积性函数都怕他（掩盖不了看似大的惊人的复杂度了）。
————某谷题解

也就是说，所有线性求积性函数的关键就是用最小的质因子求。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100005; 
int phi[maxn],cnt,prime[maxn],vis[maxn],n; 
int main(){
	cin>>n;
	phi[1]=1;//初始化 
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]) prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;//筛质数、质数i的欧拉函数值为 i-1 
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;//合数
			if(i%prime[j]==0){//效率关键 
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; 
				break;
			}else{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) cout<<phi[i]<<" ";
	return 0;
}

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欧拉定理

内容：

\[\forall a,m\text{，若 }\gcd(a,m)=1\text{，则有 }a^{\psi(m)}\equiv 1\pmod m \]

证明：

欧拉定理算是费马小定理的拓展，所以证明很像。
考虑 \(m\) 的缩剩余系，很显然缩剩余系中元素个数为 \(\psi(m)\)。
然后把缩剩余系中的每个数乘上一个数 \(a\)，要求 \(\gcd(a,m)=1\)。
根据费马小定理那里证明的命题，新的集合仍是 \(m\) 的缩剩余系。
假设原来的缩剩余系为 \(p\)，乘上 \(a\) 以后的缩剩余系为 \(q\)，则有：

\[\prod_{i=1}^{\psi(m)}p_i\equiv \prod_{i=1}^{\psi(m)}q_i\pmod m \]

即：

\[\prod_{i=1}^{\psi(m)}p_i\equiv a^{\psi(m)}\prod_{i=1}^{\psi(m)}p_i\pmod m \]

因为 \(\gcd(\prod_{i=1}^{\psi(m)}p_i,m)=1\)，所以两边可以同时约掉，得：

\[a^{\psi(m)}\equiv1\pmod m \]

证毕。

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欧拉降幂公式

又叫做拓展欧拉定理。
有一道板子题：

传送门

内容：

\[a^b\equiv a^{(b\bmod \psi(m))+\psi(m)}\pmod m ,b\ge \psi(m) \]

证明：

略。（挺实用的，一定要背过）
注意当 \(b\ge \psi(m)\) 时才能用公式，否则直接快速幂。

AC代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
long long a,m,mm;
long long phi,res;
int len,yyy; 
string s;
long long fp(long long a,long long b){
	if(b==1) return a;
	long long now=fp(a,b/2);
	if(b&1) return now*now%m*a%m;
	return now*now%m;
}
int main()
{
    cin>>a>>m;
    phi=mm=m;
    for(int i=2;mm>1&&i<=sqrt(m);i++){
    	if(!(mm%i)){
    		phi/=i;
    		phi*=(i-1);
			while(!(mm%i)) mm/=i;
		}
	}
	if(mm>1) phi=phi/mm*(mm-1);
	cin>>s;
	len=s.length();
	for(int i=0;i<len;i++){
		res=res*10+s[i]-'0';
		if(res>=phi) res%=phi,yyy=1;
	}
	if(yyy) res=res+phi;
	cout<<fp(a%m,res);
    return 0;
}