洛谷 P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程（exgcd）

传送门

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发现自己数论+文化课数学都已经炸了，所以从头学起补一补，以后要多刷数论题了。

解题思路

\(ax\equiv 1\pmod{b}\)
可以转换成 \(ax+by=1\)
而答案就是这个方程的解中x的最小正整数解。
直接用exgcd算出一组解\(x_0\)，然后想办法得到x的最小正整数。
我们回到题目：

输入数据保证一定有解

怎么保证的？
根据裴蜀定理可以得出，1是a和b的gcd的倍数。
很显然，1就是a和b的gcd，即ab互质。
我们把\(x_0\)%b,一定也满足条件，所以最终答案就是 (\(x_0\)%b+b)%b，（防止负数）

AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<ctime>
using namespace std;
long long a,b,x,y;
void exgcd(int a,int b){
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b);
	swap(x,y);
	y=y-a/b*x;
}
int main(){
	cin>>a>>b;
	exgcd(a,b);
	cout<<(x%b+b)%b;
	return 0;
}

markdown我爱了
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