洛谷 P4550 收集邮票（概率期望dp）

传送门

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解题思路

用f[i]表示已经买了i种，到买齐邮票的期望买的张数。

用g[i]表示已经买了i种，到买齐邮票的期望花的价格。

所以

• f[i]=(f[i]+1)*(i/n)+(f[i+1]+1)*((n-i)/n)
• g[i]=(g[i]+f[i]+1)*(i/n)+(g[i+1]+f[i+1]+1)*((n-i)/n)

f[i]有i/n的概率买到以前的，有(n-i)/n的概率买到新的邮票。

g[i]有i/n的概率买到以前的，而买到以前的对答案的贡献为(g[i]+f[i]+1)，即原期望+买这一次的期望花费；有(n-i)/n的概率买到新的，而买到新的对答案的贡献为(g[i+1]+f[i+1]+1)，即从i+1到n的期望花费+买这一次的期望花费。

再移项化简式子即可。

AC代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iomanip>
using namespace std;
int n;
double f[10005],g[10005]; 
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=n-1;i>=0;i--){
        f[i]=f[i+1]+(double)n/(n-i);
        g[i]=g[i+1]+(double)i/(n-i)*f[i]+f[i+1]+(double)n/(n-i);
    }
    cout<<fixed<<setprecision(2)<<g[0];
    return 0;
}