洛谷 P1063 能量项链 & [NOIP2006提高组]（区间dp，断环为链）

传送门

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解题思路

个人感觉难度应该在蓝题左右

（可能是我太弱了趴）

首先我们知道，那个所谓的头标记和尾标记，在合并区间[l...r]时，n和m是确定了的（即l的头标记和r的尾标记），只差中间的r，所以我们可以枚举k（断点）。

然后我们又可以得出，对于合并区间[l...r]，最终得分为（dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i][0]*a[k][1]*a[j][1]），就是左边区间的值加上右区间的值再加上合并的得分。

对于每一个k，a[k][1]是一个定值，所以很显然，dp[i][k]和dp[k+1][j]一定要保证最大值，这也就满足了最优子结构。

因为区间合并后，头标记和尾标记并没有任何改变，所以满足无后效性。

所以可以放心地使用区间dp了。

最后因为是环形，所以断环为链即可解决。

AC代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=205;
int n,a[maxn][2],dp[maxn][maxn],ans;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i][0];
        a[i+n][0]=a[i][0];
        a[i-1][1]=a[i][0];
        a[i+n-1][1]=a[i+n][0];
    }
    for(int len=2;len<=n;len++){
        for(int i=1;i<=2*n-1;i++){
            int j=i+len-1;
            if(j>2*n-1) break;
            for(int k=i;k<j;k++){
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i][0]*a[k][1]*a[j][1]);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans=max(dp[i][i+n-1],ans);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

 //NOIP2006提高组 t1