错排问题 && 洛谷 P1595 信封问题

传送门

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一道裸的错排问题

错排问题

百度百科上这样说

就是对于一个排列，每一个数都不在正确的位置上的方案数。n 个元素的错排数记为 D(n)。

公式

D(n)=(n−1)∗(D(n−2)+D(n−1))

推出公式（感性）

对于第n个数，放在k位置上。

而第k个数有两种情况：

• 当第k个数放到n位置时，相当于把k和n交换了位置，对剩下的n-2个数没有任何影响，所以方案数为D(n-2)。
• 当第k个数不放到n位置时，相当于k由原来的不能放在k位置变成了不能放在n位置，对k和剩下的n-2个数即这n-1个数都没有影响，所以方案数为D(n-1)。

所以对于每个k，都有D(n-1)+D(n-2)种排法。而k有n-1种选择，所以要乘上n-1，最终得出公式D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2))。

其中，D(1)初始化为0，D(2)初始化为1。

AC代码

#include<iostream>
using namespace std;
long long ans[25];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    ans[1]=0;
    ans[2]=1;
    for(int i=3;i<=n;i++) ans[i]=(i-1)*(ans[i-1]+ans[i-2]);
    cout<<ans[n];
    return 0;
}