洛谷 P3865 【模板】ST表

题目链接

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3865

ST表的作用

ST表可以解决RMQ问题，即区间最大值、最小值

优点

速度快：预处理的时间复杂度是o(nlogn)。查询的时间复杂度是o(1)。

缺点

不支持修改操作

实现方法

ST表借助于一个数组实现：st[i][j]表示从i为起点，2^j个长度的区间最大值。

预处理：

显然，st[i][0]=a[i]; 即从i开始1个单位长度的最大值就是i。

然后是一个双层循环，第一层是枚举数组的第二维下标，j从1开始（0已经预处理了），一直到log2(n),为什么呢？因为第二维表示的是2^j个长度单位，所以2^log2(n)<=n。

这里可能对log2不理解，假设log2(n)返回的是k，那么k是2^k<=n的最大整数。例如log2(4)=2  log2(5)=2  log2(6)=2  log2(7)=2  log2(8)=3 ……

所以说，j枚举到log2(n)就行了。

第二层循环枚举的是i，是第一维下标，从一开始，一直到i+(1<<j)-1<=n。1<<j意思是1左移j位，等价于2^j,但比它要快得多。如果起始位i加上2的j次方再减1（起始位不包括在内）后超过了n，就没有必要继续进行下去了。

我们推出状态转移方程：st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);  //dp的思想，两段的最大值就是整个区间的最大值。依旧不明白可以自己手推一遍试试。

为什么要先循环j呢？因为我们初始化的是st[i][0]，如果先循环i就会有一些分段还未求出。（建议大家手推一遍试试）

这样，预处理就结束了。

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查询：

每一次读入要查询的区间l--r，令k=log2(r-l+1).为什么呢？r-l+1其实就是区间的长度。

令len=r-l+1，很显然，len / 2 < 2^log2(len) <= len。所以说每一次输出max(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k]) 。

在这里st[i][k]一定越过了l--r区间的中点，st[r-(1<<k)+1][k]就是表示后2^k个数，也一定在起点到中点之间，这样操作就覆盖了整个区间。

附上代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>                        //注意一定要用scanf和printf，否则会超时 
using namespace std;
int n,m,a[200005],st[200005][35];
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        st[i][0]=a[i];                    //先初始化st数组。 
    }
    for(int j=1;j<=log2(n);j++){        //第二维到log2(n)即可，因为2^(j+1)>n 
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){    //注意边界 
            st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);             
        int k=log2(r-l+1);
        printf("%d\n",max(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k]));
    }
    return 0;
}

我建议大家感性理解一下，要准确地证明真的比较难。大家可以手算模拟一遍。