洛谷 P2678 & [NOIP2015提高组] 跳石头(二分答案)

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题目链接

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2678

题目背景

一年一度的“跳石头”比赛又要开始了!

题目描述

这项比赛将在一条笔直的河道中进行，河道中分布着一些巨大岩石。组委会已经选择好了两块岩石作为比赛起点和终点。在起点和终点之间，有 N 块岩石（不含起点和终点的岩石）。在比赛过程中，选手们将从起点出发，每一步跳向相邻的岩石，直至到达终点。

为了提高比赛难度，组委会计划移走一些岩石，使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长。由于预算限制，组委会至多从起点和终点之间移走 M 块岩石（不能移走起点和终点的岩石）。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含三个整数 L,N,M，分别表示起点到终点的距离，起点和终点之间的岩石数，以及组委会至多移走的岩石数。保证 L≥1且 N≥M≥0。

接下来 N 行，每行一个整数，第 i 行的整数 Di(0<Di<L)， 表示第 i 块岩石与起点的距离。这些岩石按与起点距离从小到大的顺序给出，且不会有两个岩石出现在同一个位置。

输出格式：

一个整数，即最短跳跃距离的最大值。

输入输出样例

输入样例：

25 5 2 
2
11
14
17 
21

输出样例：

4

说明

输入输出样例 1 说明：将与起点距离为 2和 14 的两个岩石移走后,最短的跳跃距离为 4(从与起点距离 17 的岩石跳到距离 21 的岩石,或者从距离 21 的岩石跳到终点)。

另：对于 20%的数据,0≤M≤N≤10。

对于50%的数据,0≤M≤N≤100。

对于 100%的数据,0≤M≤N≤50,000,1≤L≤1,000,000,000。

解题思路

首先看一下数据范围，发现暴力枚举时间肯定会炸(除非你只是想拿部分分)，所以这里我们要用到一个新的算法——二分答案。

什么叫二分答案呢？？

顾名思义，二分答案就是把一组数据每次分成两部分，就是把大问题转化成小问题。例如猜数游戏，猜1-100的一个数，就先猜50，若小了，就猜75，若大了，就猜25，就这样一直猜下去，最终找到答案。

而我们每一次猜的这个答案就是所求范围内的数据的中间数据，这就是二分答案。这个二分的中间数据就是指要求的内容。

二分答案需要满足一个什么样的性质呢？

• 有一个确定的范围
• 答案只有一个
• 答案必须满足单调性（连续上升或下降）

二分的两种形式：

上文是介绍对细节的处理。

此题解法：

搞明白二分答案后，我们就来看看这道经典题目。

一眼看到题目中的这一句话：使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长，当出现最小值最大或最大值最小或求最大值、最小值时，就可以考虑一下二分了。

很显然，这道题我们求的是最短距离，所以我们二分的就是最短距离。

首先验证答案具有单调性：拿走的石头越多，最短跳跃距离越大，这就叫答案的单调性。

然后进行实现。我们假设最短跳跃距离为mid，那么显然0<mid<L，所以我们就先让左端点l=0，右端点r=L，每次mid取中间值mid=(l+r+1)>>1，这里采用的是第二种形式。接着我们写一个check函数，判断一下这个mid是否合法，如果合法，就尝试找一找有没有一个值比mid更大（l=mid），如果不合法，就把mid减小（r=mid-1）。

那check函数怎么写呢？我们遍历一遍每一块石头，累计出有多少块石头之间的间隔<=mid,如果超过m个，就不合法，如果小于等于m，就合法。、

具体看代码。

#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,L;
int a[50005];
bool check(int x){        //check函数判断这个最短跳跃距离x是否合法
    int last=0;                    //last表示的是上一块石头的位置 
    int cnt=0;                    //cnt用来计数 
    for(int i=1;i<=n+1;i++) {    //枚举每一块石头 
        if(a[i]-last<x) cnt++;    //如果这一块石头和上一块石头的距离比x小,计数+1。而且如果石头移走，last还是上一块石头的位置。 
        else last=a[i];            //否则这块石头就不必移走，last=这块石头的位置。 
    }
    if(cnt>m) return 0;            //cnt如果超过m个，就不合法。
    else return 1;                 //cnt如果小于等于m，就合法。 
}
int main()
{
cin>>L>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
a[n+1]=L;                        //注意这个一共有n+2块石头(起点和终点) 
int l=1,r=L;                    //注意l和r都是最短跳跃距离的边界，而不是石头的边界。 
while(l<r){
    int mid=(l+r+1)>>1;            //取中点，用的是第二种形式。 
    if(check(mid)) l=mid;        //分别处理 
    else r=mid-1;
}
cout<<l;                        //退出循环后一定是l==r，所以输出什么都可以。 
return 0;
}

 //NOIP2015提高组 Day2 t1

作者：尹昱钦
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