洛谷 P1045 & [NOIP2003普及组] 麦森数(快速幂)

题目链接

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1045

题目大意

本题目的主要意思就是给定一个p，求2^p-1的位数和后500位数。

解题思路

　　首先看一下数据范围$，我们不难发现此题必须要用高精度来做。但是每一次高精度乘法的复杂度是o(n)的（n为数字的位数），所以很显然需要加一个快速幂。$$但是事实证明快速幂+高精度也会超时，所以我们必须进一步优化时间。$

$根据题意，我们可知，只需要记录下后500位数即可，这里牵扯到一点点数论的知识，这一个数字的后500位是与500位以外的数是没有一点关系的，根据这个性质，我们就可以开一个500大的数组，每一次记录后500位的数字即可。$

$但是此题还有一个难点，就是求总的位数，这里要运用数论知识。$

　　我们不难发现，2ⁿ的最后一位不可能是0，所以2^p和2^p-1的位数是一样的，我们只需求出2^p的位数即可。

　　我们知道，如果某个数是10ⁿ，那么这个数就有n+1位数字。我们知道，log10(2)意思是10的多少次方=2，所以10^log10(2)=2。所以我们把2^p写成（10^log10(2) )^p，再根据幂的平方运算法则写成10^log10(2)*p，而10^log10(2)*p的位数是log10(2)*p+1，也就是2^p的位数是log10(2)*p+1，也就是2^p-1的位数是log10(2)*p+1。

　　最后一定要注意输出格式！！本人因此爆零。。

附代码

#include<iostream>                    //快速幂：2的p次方=（2的平方）的p/2次方 = （（2的平方）的平方）的 p/2/2次方...... 
#include<cstdio>                    //       f存的就是底数——2,2的2次方，2的二次方的二次方...... 
#include<cmath>                        //       res 存的就是最后的答案 
#include<cstring>                    //        sav是每一次高精度乘法的临时数组 
using namespace std;
int p,f[510],res[510],sav[510];                //数组开500多一点已足够 
void rr1() {                                //rr1是将答案更新，乘上现在的底数 
    memset(sav,0,sizeof(sav));                 
    for(int i = 1;i <= 500; i++)            //动手画一下 ，列一个竖式，就会发现[i]*[j]得到的数字其实是[i+j-1]位上的数字 
        for(int j = 1;j <= 500; j++)        //这里只是乘，还没有进位 
            if(i+j<=505) sav[i+j-1] += res[i] * f[j];
    for(int i = 1;i <= 500; i++) {             //进位 
        sav[i+1] += sav[i] / 10;
        sav[i] %= 10;
    }
    memcpy(res,sav,sizeof(res));            //把求出来的数组sav更新到res中 
}
void rr2() {                                //rr2求得是底数的平方的值，存在f中 
    memset(sav,0,sizeof(sav));                //同上 
    for(int i = 1;i <= 500; i++) 
        for(int j = 1;j <= 500; j++)
            if(i+j<=505)sav[i+j-1] += f[i] * f[j];
    for(int i = 1;i <= 500; i++) { 
        sav[i+1] += sav[i] / 10;
        sav[i] %= 10;
    }
    memcpy(f,sav,sizeof(f));                
}
int main() {
    scanf("%d",&p);
    printf("%d\n",(int)(log10(2) * p + 1));    //先输出位数 
    res[1] = 1;
    f[1] = 2;                                //初始化要为2，否则会一直乘1 
    while(p != 0) {                            //快速幂 
        if(p % 2 == 1) rr1();                //任何一个数一直/2最后一定是1，这样就能确保更新答案 
        p /= 2;                                //rr1,rr2为高精度乘法
        rr2();                                //每一次都更新一遍f，也就是底数的平方 
    }
    res[1] -= 1;
    for(int i = 500;i >= 1; i--)
        if(i != 500 && i % 50 == 0) printf("\n%d",res[i]); //注意输出格式。 
        else printf("%d",res[i]);
    return 0;
}

 //NOIP2003普及组t4