01背包空间复杂度优化--逆序为什么能优化空间复杂度

空间复杂度优化

1、优化原理

原式子(二维的):  f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}-----------------------------式子（1）
现在要改成一维的(空间优化):     f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]+w[i]}--------------------式子（2）

注意上面的状态转移方程两边的是2个状态(左边的是这一状态  右边的是上一状态（二维的通过i可以看出来）)

开始的时候始终不能明白式子（2），其实当我们i从1,2,3....n的时候，计算第i次f[v]时，等式（2）右值f[v]是上一次迭代（i-1次）产生的值（这句话是重点，明白了就能理解优化问题的本质了）。比如我们考虑一元函数g(x[i])=2g(x[i-1])，当我们i递增时，设初始值i=0，g(x0)=1,则：i=1，g(x[1])=2g(x[0])=2;i=2，g(x[2])=2g(x[1])=4,.........如果我们省略i不写，则：i=1，g(x)=2g(x)=2;i=2，g(x)=2g(x)=4，也就是说后面的g(x)是保存的上一次g(x)的值。

2、数据举例

（用数学等式将每一步都写下来，离你理解01背包问题也不远了）

关于等式（2），开篇连接博主证明v顺序递增是不行的，大家可以去看看，会有启发的。下面的数据也是引用的原博主的，只是跟他用不同的思路去递推。

设有3件物品 ,背包能容纳的总重量为10，物品序号为i=1,2,3

物品号         重量(c)          价值(w)

i=1             4                 5

i=2             7                 9

i=3             5                 6

a、用式子（1）去递推（优化前）

当i=1时，v=4~10:

f[1][4]=max{f[0][4],f[0][0]+5}=5

f[1][5]=max{f[0][5],f[0][1]+5}=5

f[1][6]=max{f[0][6],f[0][2]+5}=5

f[1][7]=max{f[0][7],f[0][3]+5}=5

f[1][8]=max{f[0][8],f[0][4]+5}=5

f[1][9]=max{f[0][9],f[0][5]+5}=5

f[1][10]=max{f[0][10],f[0][6]+5}=5

当i=2时，v=7~10:

f[2][7]=max{f[1][7],f[1][0]+9}=9

f[2][8]=max{f[1][8],f[1][1]+9}=9

f[2][9]=max{f[1][9],f[1][2]+9}=9

f[2][10]=max{f[1][10],f[1][3]+9}=9

当i=3时，v=5~10:

f[3][5]=max{f[2][5],f[2][0]+8}=8

f[3][6]=max{f[2][6],f[2][1]+8}=8

f[3][7]=max{f[2][7],f[2][2]+8}=9

f[3][8]=max{f[2][8],f[2][3]+8}=9

f[3][9]=max{f[2][9],f[2][4]+8}=9

f[3][10]=max{f[2][10],f[5][3]+8}=9

b、用式子（2）去递推（优化后）

当i=1时，v=10~4:

f[10]=max{f[10],f[6]+5}=5（右式的f[10]之前没出现过，初始值为0）

f[9]=max{f[9],f[5]+5}=5

f[8]=max{f[8],f[4]+5}=5

f[7]=max{f[7],f[3]+5}=5

f[6]=max{f[6],f[2]+5}=5

f[5]=max{f[5],f[1]+5}=5

f[4]=max{f[4],f[0]+5}=5

当i=2时，v=10~7:

f[10]=max{f[10],f[3]+9}=9

f[9]=max{f[9],f[2]+9}=9

f[8]=max{f[8],f[1]+9}=9

f[7]=max{f[7],f[0]+9}=9

当i=3时，v=10~5:

f[10]=max{f[10],f[5]+8}=9

f[9]=max{f[9],f[4]+8}=9

f[8]=max{f[8],f[3]+8}=9

f[7]=max{f[7],f[2]+8}=9

f[6]=max{f[6],f[1]+8}=8

f[5]=max{f[5],f[0]+8}=8

3、网上的一小段话

　　f[i][v]只与f[i-1][v]和f[i-1][v-C[i]]有关，即只和i-1时刻状态有关，所以我们只需要用一维数组f[]来保存i-1时的状态f[]。假设i-1时刻的f[]为{a0，a1，a2，…，av}，难么i时刻的f[]中第v个应该为max(av,av-C[i]+W[i])即max(f[v],f[v-C[i]]+W[i])，这就需要我们遍历V时逆序遍历，这样才能保证求i时刻f[v]时f[v-C[i]]是i-1时刻的值。如果正序遍历则当求f[v]时其前面的f[0],f[1]，…，f[v-1]都已经改变过，里面存的都不是i-1时刻的值，这样求f[v]时利用f[v-C[i]]必定是错的值。最后f[V]即为最大价值。
---------------------

作者：lear_scu

来源：CSDN

原文：https://blog.csdn.net/qq_36327328/article/details/81163936