虚树------sdoi2011<消耗战>
卡着时间过得，大概是因为全用了ll，时间涨了一倍吧？？
懒得改了，第一道虚树还是思路比较重要
下面这段文字是复制来的：
给出一棵树.
每次询问选择一些点,求一些东西.这些东西的特点是,许多未选择的点可以通过某种方式剔除而不影响最终结果.
于是就有了建虚树这个技巧.....
我们可以用log级别的时间求出点对间的lca....
那么,对于每个询问我们根据原树的信息重新建树,这棵树中要尽量少地包含未选择节点. 这棵树就叫做虚树.
接下来所说的"树"均指虚树,原来那棵树叫做"原树".
构建过程如下:
按照原树的dfs序号(记为dfn)递增顺序遍历选择的节点. 每次遍历节点都把这个节点插到树上.
首先虚树一定要有一个根. 随便扯一个不会成为询问点的点作根.
维护一个栈,它表示在我们已经(用之前的那些点)构建完毕的虚树上,以最后一个插入的点为端点的DFS链.
设最后插入的点为p(就是栈顶的点),当前遍历到的点为x.我们想把x插入到我们已经构建的树上去.
求出lca(p,x),记为lca.有两种情况:
1.p和x分立在lca的两棵子树下.
2.lca是p.
(为什么lca不能是x?
因为如果lca是x,说明dfn(lca)=dfn(x)<dfn(a),而我们是按照dfs序号遍历的,于是dfn(a)<dfn(x),矛盾.)
对于第二种情况,直接在栈中插入节点x即可,不要连接任何边(后面会说为什么).
对于第一种情况,要仔细分析.
我们是按照dfs序号遍历的(因为很重要所以多说几遍......),有dfn(x)>dfn(p)>dfn(lca).
这说明什么呢? 说明一件很重要的事:我们已经把lca所引领的子树中,p所在的子树全部遍历完了!
简略的证明:如果没有遍历完,那么肯定有一个未加入的点h,满足dfn(h)<dfn(x),
我们按照dfs序号递增顺序遍历的话,应该把h加进来了才能考虑x.
这样,我们就直接构建lca引领的,p所在的那个子树. 我们在退栈的时候构建子树.
p所在的子树如果还有其它部分,它一定在之前就构建好了(所有退栈的点都已经被正确地连入树中了),就剩那条链.
如何正确地把p到lca那部分连进去呢?
设栈顶的节点为p,栈顶第二个节点为q.
重复以下操作:
如果dfn(q)>dfn(lca),可以直接连边q->p,然后退一次栈.
如果dfn(q)=dfn(lca),说明q=lca,直接连边lca->p,此时子树已经构建完毕.
如果dfn(q)<dfn(lca),说明lca被p与q夹在中间,此时连边lca->q,退一次栈,再把lca压入栈.此时子树构建完毕.
如果不理解这样操作的缘由可以画画图.....
最后,为了维护dfs链,要把x压入栈. 整个过程就是这样.....
题解：
对于这一道题目，朴素的树形dp是nm的
而容易发现，某些路径中的点是没有用的，所以考虑建立一颗虚树
两条边之间的权值就是实际权值的最小值
当然这题会发现有个性质就是如果某个点在另一个点的子树中，这个点是不用考虑的（事实上这个优化对效率并没有什么卵用）
至于那个dp，没什么难度，就看代码吧
代码：
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 1000000 #define maxn2 300000 #define INF 1e15 #define ll long long struct re{ ll a,b,c; }a[maxn],a2[maxn]; ll gg,m,n,l,l1,number[maxn],dep[maxn],head[maxn], head2[maxn],ql[maxn],bz1[maxn2][22],bz2[maxn2][22], nowtime[maxn],now,f[maxn],b[maxn],k,st[maxn],top; void dfs(ll x,ll fa) { number[x]=++now; bz1[x][0]=fa; ll u=head[x]; while (u) { ll v=a[u].b; if (v!=fa) { bz2[v][0]=a[u].c; dep[v]=dep[x]+1; dfs(v,x); } u=a[u].a; } } bool cmp(ll x,ll y) { return(number[x]<number[y]); } ll lca(ll x,ll y) { if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y); for (ll i=20;i>=0;i--) if (dep[x]-(1<<i)>=dep[y]) x=bz1[x][i]; if (x==y) return(x); for (ll i=20;i>=0;i--) if (bz1[x][i]!=bz1[y][i]) x=bz1[x][i],y=bz1[y][i]; return(bz1[x][0]); } ll query(ll x,ll y) { if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y); ll ans=INF; for (ll i=20;i>=0;i--) if (dep[x]-(1<<i)>=dep[y]) ans=min(ans,bz2[x][i]),x=bz1[x][i]; if (x==y) return(ans); for (ll i=20;i>=0;i--) if (bz1[x][i]!=bz1[y][i]) { ans=min(ans,bz2[x][i]); ans=min(ans,bz2[y][i]); x=bz1[x][i],y=bz1[y][i]; } ans=min(ans,bz2[x][0]); ans=min(ans,bz2[y][0]); return(ans); } void dp(ll x,ll fa) { ll u=head2[x],tmp=0; while (u) { ll v=a2[u].b; if (v!=fa) { f[v]=a2[u].c; dp(v,x); tmp+=f[v]; } u=a2[u].a; } if (nowtime[x]!=gg) f[x]=min(f[x],tmp); } void arr(ll x,ll y,ll z) { a[++l1].a=head[x]; a[l1].b=y; a[l1].c=z; head[x]=l1; } void arr2(ll x,ll y) { if (x==y) return; a2[++l].a=head2[x]; ql[l]=x; a2[l].b=y; a2[l].c=query(x,y); head2[x]=l; } deque <ll> q; void solve() { for (ll i=1;i<=l;i++) head2[ql[i]]=0;l=0;//清理head的一种不太浪费的方法 q.clear(); q.push_back(b[1]); for (ll i=2;i<=k;i++) //if (lca(b[i],b[q.back()])!=q.back()) q.push_back(b[i]); //按照上面说的如果在别人子树中就被丢弃 top=0; st[++top]=1; while (!q.empty()) { ll now=q.front(),tmp=lca(st[top],now); q.pop_front(); while (true) { if (dep[tmp]>=dep[st[top-1]]) { arr2(tmp,st[top]); arr2(st[top],tmp); top--; if (st[top]!=tmp) st[++top]=tmp; break; } arr2(st[top-1],st[top]); arr2(st[top],st[top-1]); top--; } //if (st[top]!=now) //这句是为了防止有相同点 这题里可以不需要 st[++top]=now; } while (top>1) { arr2(st[top],st[top-1]); arr2(st[top-1],st[top]),top--; } f[1]=INF;dp(1,0); cout<<f[1]<<endl; } int main() { std::ios::sync_with_stdio(false); cin>>n; ll c,d,e; for (ll i=1;i<=n-1;i++) { cin>>c>>d>>e; arr(c,d,e); arr(d,c,e); } for (ll i=0;i<=20;i++) for (ll j=0;j<=maxn2-10;j++) bz2[j][i]=INF; dfs(1,0); for (ll i=1;i<=20;i++) for (ll j=1;j<=n;j++) { bz1[j][i]=bz1[bz1[j][i-1]][i-1]; bz2[j][i]=min(bz2[j][i-1],bz2[bz1[j][i-1]][i-1]); } cin>>m; for (gg=1;gg<=m;gg++) { cin>>k; for (ll i=1;i<=k;i++) { cin>>b[i]; nowtime[b[i]]=gg; } sort(b+1,b+1+k,cmp); solve(); } }
top=0;
st[++top]=1;
while (!q.empty())
{
ll now=q.front(),tmp=lca(st[top],now);
q.pop_front();
while (true)
{
if (dep[tmp]>=dep[st[top-1]])
{
arr2(tmp,st[top]);
arr2(st[top],tmp); top--;
if (st[top]!=tmp) st[++top]=tmp;
break;
}
arr2(st[top-1],st[top]);
arr2(st[top],st[top-1]); top--;
}
if (st[top]!=now) st[++top]=now;
}
while (top>1)
{
arr2(st[top],st[top-1]);
arr2(st[top-1],st[top]),top--;
}
真正和虚树有关的就上面这么一点，基本背板子就可以了
自己归纳的虚树步骤
首先找一个不可能出现的点作为第一个节点
然后对于新加入的点，求出其与st[top]的lca
当lca>=st[top-1]的时候 就连边st[top-1]------->lca 结束此次循环
当lca<st[top-1]的时候 九离岸边st[top-1]------>st[top] 然后递归一下
做完后判断新加入的点是否存在，如果不存在就加入到栈中
最后再将剩余的连完
这个步骤的原理上面已经说了 感觉理解也是挺直观的
