生成函数

[BZOJ4913][SDOI2017]遗忘的集合

因为这题重新学了一下生成函数相关知识

不过还是感觉这个东西考到也做不出。。

普通型母函数：

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+...$

这个东西的证明我们可以利用等比数列

然后令$x={x'}^{k}$

$\frac{1}{1-{x'}^k}=1+{x'}{k}+{x'}^{2*k}+{x'}^{3*k}+...$

扩展二项式定理：

$C(n,m)=\frac{n*(n-1)*...*(n-m+1)}{m!}$

当m=1时值为0

会发现这个东西的主要扩展在于允许了n是负数，当n是正数时m>n依旧为0

泰勒展开：

$f(x)=\frac{f(x0)}{0!}+\frac{f'(x0)*(x-x0)}{1!}+\frac{f''(x0)*(x-x0)^2}{2!}+....$

然后泰勒展开的两个经典例子是

$ln(1+x)=\sum_{i=1}^{INF}\limits {\frac{{(-1)}^{i-1}*x^i}{i}}$

$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}...$

这两个用定义都挺好证的。。

其他的等碰到再加吧。。