随机事件独立性不能仅凭直接来分析

一般来讲，判断事件的独立性往往可以从随机试验的直观背景中分析出来，
但有时直觉是不可靠的，需要对随机现象仔细考察研究。

考虑有三个孩子的家庭，按大小顺序不同性别有8种等可能情形，即
$\Omega=\{bbb,bbg,bgb,gbb,bgg,gbg,ggb,ggg\}$，
令$A=$“家中既有男孩又有女孩”，$B=$“家中至多有一个女孩”，
则$P(A)=6/8=3/4$，$P(B)=4/8=1/2$，$P(AB)=3/8$。
这时，
\[
P(AB)=P(A)P(B),
\]
可见，$A$与$B$独立。

若考虑两个孩子的家庭，$\Omega=\{bb,bg,gb,gg\}$，
则有$P(A)=2/4=1/2$，$P(B)=3/4$，$P(AB)=1/2$。
这时，
\[
P(AB)\neq P(A)P(B),
\]
可见，$A$与$B$不独立。