一道极限题目的解析

设$f(x)$具有一阶连续导数, 且
\[
\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{{\rm e}^x-1}{x^2}+\frac{f(x)}{x}\right)=3,
\]
求$f(0)$以及$f'(0)$.

解: 由
\[
\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{{\rm e}^x-1}{x^2}+\frac{f(x)}{x}\right)
=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{{\rm e}^x-1}{x}+f(x)}{x}
=3
\]
可知
\[
\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{{\rm e}^x-1}{x}+f(x)\right)=0,
\]
即有\[f(0)=\lim\limits_{x\to0}f(x)=-\lim\limits_{x\to0}\frac{{\rm e}^x-1}{x}=-1.\]

注意到
\[
\lim_{x\to0}\frac{{\rm e}^x+f(x)+xf'(x)}{2x}
=\lim_{x\to0}\left(\frac{{\rm e}^x-1}{2x}+\frac{f(x)-f(0)}{2x}+\frac{1}{2}f'(x)\right)
=\frac{1}{2}+f'(0),
\]
可知
\[
\lim_{x\to0}\frac{{\rm e}^x-1+xf(x)}{x^2}=\frac{1}{2}+f'(0)=3,
\]
因此有\(f'(0)=\frac{5}{2}.\)

也可以考虑泰勒展开, 由于$x\to0$时,
\[
{\rm e}^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+o(x^2),
\]
\[
f(x)=f(0)+f'(0)x+o(x),
\]
可得
\begin{align*}
&\lim_{x\to0}\frac{{\rm e}^x-1+xf(x)}{x^2}\\
=&\lim_{x\to0}\frac{x+\frac{1}{2}x^2+o(x^2)-x+f'(0)x^2+o(x^2)}{x^2}\\
=&\frac{1}{2}+f'(0)=3,
\end{align*}
因此有\(f'(0)=\frac{5}{2}.\)